Funzione sommabile
Buonasera,
ho la seguente funzione
1) determinare primitiva
2) verificare che è sommabile su $[0,+ infty[$ e calcolare il valore dell'integrale $int_0^(+ infty) f\ dx$
La prima 1) ho risolto, ossia $int f \ dx = {F(x)+c}={-arctan(e^x)/(e^x)+ e^x-1/2ln(e^(2x)+1)+c}.$
Per la seconda 2), invece
Definizione
Si dice che $f$ è sommabile in $(a,b)$ se e solo se $|f|$ è integrabile in senso improprio su $(a,b).$
Osservo che $f ge 0 \ qquad forall x in I=[0,+infty[ $, quindi il modulo, può andare via
Quindi dobbiamo determinare se $f$ è integrabile su $I$, in tal caso l'integrale risulta essere improprio, per due motivi
1) illimitatezza di $I$
2) punto di singoloraità di $f$ in $x=0$
per tali ragione suddivido l'integrale in due integrali, cioè
Per $int_0^1 f \ dx $ procedo per confronto, ossia $0 le f le (pi/2)/x^(1/2) =g $ l'integrale di funzione integranda $g$ è un integrale improprio notevole, il quale converge se $1/2=alpha<1$.
Per $int_1^(+ infty) f \ dx$ procedendo per confronto, ossia $0 le f le (pi/2)/x^2 =g $ l'integrale di funzione integranda $g$ è un integrale improprio notevole, il quale converge se $2=alpha>1$.
Come procede ?
Ciao
ho la seguente funzione
$f(x)=arctan(e^x)/(e^x)$
1) determinare primitiva
2) verificare che è sommabile su $[0,+ infty[$ e calcolare il valore dell'integrale $int_0^(+ infty) f\ dx$
La prima 1) ho risolto, ossia $int f \ dx = {F(x)+c}={-arctan(e^x)/(e^x)+ e^x-1/2ln(e^(2x)+1)+c}.$
Per la seconda 2), invece
Definizione
Si dice che $f$ è sommabile in $(a,b)$ se e solo se $|f|$ è integrabile in senso improprio su $(a,b).$
Osservo che $f ge 0 \ qquad forall x in I=[0,+infty[ $, quindi il modulo, può andare via
Quindi dobbiamo determinare se $f$ è integrabile su $I$, in tal caso l'integrale risulta essere improprio, per due motivi
1) illimitatezza di $I$
2) punto di singoloraità di $f$ in $x=0$
per tali ragione suddivido l'integrale in due integrali, cioè
$int_I f\ dx=int_0^1 f \ dx + int_1^infty f \ dx$
Per $int_0^1 f \ dx $ procedo per confronto, ossia $0 le f le (pi/2)/x^(1/2) =g $ l'integrale di funzione integranda $g$ è un integrale improprio notevole, il quale converge se $1/2=alpha<1$.
Per $int_1^(+ infty) f \ dx$ procedendo per confronto, ossia $0 le f le (pi/2)/x^2 =g $ l'integrale di funzione integranda $g$ è un integrale improprio notevole, il quale converge se $2=alpha>1$.
Come procede ?
Ciao
Risposte
Singolarità in $x=0$???
Sicuro?
Sicuro?
Non dovresti avere l'ombra di dubbio che questa funzione è sommabile su $[0,\infty)$. (questo si aggiunge al giustissimo commento di Gugo)
sono fuso, in effetti la funzione $f$, è prolungabile per continuità per $x=0$, la quale assume il valore $y=1$.
Quindi fatta questa osservazione, l'integrale è improprio, solo per 1).
"dissonance":
Non dovresti avere l'ombra di dubbio che questa funzione è sommabile su $ [0,\infty) $.
Intendi dire che basta applicare la definizione di integrabilità, ossia
Definizione
Se esiste finito il limite
$lim_(alpha to + infty) int_a^(+infty) f \ dx$
la funzione f si dirà integrabile in senso improprio su $[a,+infty[.$
Da quì, basta prendere la primitiva che ho determinato in precedenza, è verificare che il valore del limite, è finito, è cosi ?
Ciao
Ciao galles90,
Ci sono un paio di errori anche nel calcolo della primitiva in 1).
Mi risulta
$ \int f(x) \text{d}x = - arctan(e^x)/(e^x) - 1/2 ln(e^(-2x)+1) + c $
e dunque
$ \int_0^{+infty} f(x) \text{d}x = [-arctan(e^x)/(e^x) - 1/2ln(e^(-2x)+1)]_0^{+\infty} = [- 0 - 1/2 \cdot 0 + \pi/4 + 1/2 ln2] = 1/4(\pi + ln4) $
Ci sono un paio di errori anche nel calcolo della primitiva in 1).
Mi risulta
$ \int f(x) \text{d}x = - arctan(e^x)/(e^x) - 1/2 ln(e^(-2x)+1) + c $
e dunque
$ \int_0^{+infty} f(x) \text{d}x = [-arctan(e^x)/(e^x) - 1/2ln(e^(-2x)+1)]_0^{+\infty} = [- 0 - 1/2 \cdot 0 + \pi/4 + 1/2 ln2] = 1/4(\pi + ln4) $
Si, puoi usare il calcolo esplicito (con le correzioni di pilloeffe). Ma se stessi studiando bene, capiresti al volo, senza nessun conto, che quell'integrale deve esistere finito. Perché? Ragiona in termini di ordine di infinitesimo, per $x - > oo$.
Si, grazie per le risposte ad entrambi.
Comunque dissonance, la funzione è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza, essendo
Per $x >0$ ed $alpha>1$ tale che
L'integrale di funzione integranda $g(x)$, è un integrale improprio notevole convergente se $alpha>1$, dal criterio del confronto si ha la convergenza dell'integrale improprio di funzione integranda $f(x)$, per cui risulta sommabile in $I$, ed il valore già la stabilito pilloeffe
Cosi va bene ?
Comunque dissonance, la funzione è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza, essendo
$lim_(x to + infty) ((mbox{arcatan}(e^x))/(e^x))/(1/(x^(alpha)))=lim_(x to + infty) (x^(alpha))((mbox{arcatan}(e^x))/(e^x))~(pix^(alpha))/(2e^x) to 0 \ qquad x to + infty .$
in definitiva otteniamo $f(x)=(mbox{arcatan}(e^x))/(e^(x)) ~1/(e^x) \ qquad x to + infty .$
Per $x >0$ ed $alpha>1$ tale che
$e^x ge x^(alpha), \ qquad \ to \ qquad 1/(e^x) le 1/x^(alpha) =g(x)$
in definitiva ottengo $ 0 lef(x ) le g(x) \ qquad forall x in I=[0,+infty[.$
L'integrale di funzione integranda $g(x)$, è un integrale improprio notevole convergente se $alpha>1$, dal criterio del confronto si ha la convergenza dell'integrale improprio di funzione integranda $f(x)$, per cui risulta sommabile in $I$, ed il valore già la stabilito pilloeffe
Cosi va bene ?
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