Funzione Seriale???
Chiedo scusa se il titolo non rispecchia la tipologia dell'esercizio ma me lo sono trovato davanti per la prima volta nel compito di Analisi I.
L'esercizio chiedeva di studiare la funzione
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty(1-x)|x|^n$
e tracciarne il grafico.
Non abbiamo mai studiato funzioni del genere, come mi devo comportare???
L'esercizio chiedeva di studiare la funzione
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty(1-x)|x|^n$
e tracciarne il grafico.
Non abbiamo mai studiato funzioni del genere, come mi devo comportare???
Risposte
Osservi che $f(1) = 0$.
Poi, per $x\ne 1$, ti scrivi $f(x) = (1-x) g(x)$, con $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} |x|^n$.
Adesso dovresti avere tutte le informazioni che ti servono.
Poi, per $x\ne 1$, ti scrivi $f(x) = (1-x) g(x)$, con $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} |x|^n$.
Adesso dovresti avere tutte le informazioni che ti servono.
Quindi ora devo studiarmi solo la serie $\sum_{n=0}^\infty|x|^n$ ???
Esatto.
Ma di quella serie dovresti sapere tutto (compresa la somma).
Ma di quella serie dovresti sapere tutto (compresa la somma).
E' la serie geometrica quindi:
per $x>=1$ diverge positivamente
per $|x|-<1$ converge e la sua somma è "S=$1/(1-x)$
per $x<=-1$ è oscillante$
Giusto???
Ma ora come lo faccio il grafico???
per $x>=1$ diverge positivamente
per $|x|-<1$ converge e la sua somma è "S=$1/(1-x)$
per $x<=-1$ è oscillante$
Giusto???
Ma ora come lo faccio il grafico???
Dire che ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua è poco. 
Attenzione ad una piccola cosa: $sum_{n=0}^infty |x|^n=1/(1-|x|)$.
Attenzione ad una piccola cosa: $sum_{n=0}^infty |x|^n=1/(1-|x|)$.
Ma essendo uno studio di funzione non mi devo fare dominio asintoti derivata prima ecc???
Allora, hai la tua funzione $f: (-1,1]\to RR$ definita da $f(1) = 0$, $f(x) = \frac{1-x}{1-|x|}$ per $x\in (-1,1)$.
Osserva che per $x\in [0,1)$ l'espressione si semplifica ulteriormente; per $x\in (-1,0)$ devi invece fare un minimo di sforzo.
Osserva che per $x\in [0,1)$ l'espressione si semplifica ulteriormente; per $x\in (-1,0)$ devi invece fare un minimo di sforzo.
Quindi lo studio di funzione riguarda solo la serie quando è convergente...
Dunque osservo che per $x ∈ [0,1)$ la $f(x)=1$
Invece per $x ∈ (-1,0)$ devo studiare la funzione $f(x)=(1-x)/(1+x)$
Il grafico devo farlo quindi solo per l'intervallo $(-1,1]$, se è così allora ho capito, grazie!!!
Dunque osservo che per $x ∈ [0,1)$ la $f(x)=1$
Invece per $x ∈ (-1,0)$ devo studiare la funzione $f(x)=(1-x)/(1+x)$
Il grafico devo farlo quindi solo per l'intervallo $(-1,1]$, se è così allora ho capito, grazie!!!
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