Funzione sequenzialmente continua
Ho trovato questo esempio in rete di funzione sequenzialmente continua ma non continua ( il link credo me l'ha dato javicemarpe):
Si prenda uno spazio topologico X in modo tale che esista un sottoinsieme A la cui chiusura sia strettamente maggiore della sua chiusura sequenziale. Si consideri ogni x che si trovi nella chiusura di A ma non nella sua chiusura sequenziale. Si consideri lo spazio topologico A U {x} e si definisca:
f(y)= 1 se y=x
f(y)=0 altrove
Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:
1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)
Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)
Si prenda uno spazio topologico X in modo tale che esista un sottoinsieme A la cui chiusura sia strettamente maggiore della sua chiusura sequenziale. Si consideri ogni x che si trovi nella chiusura di A ma non nella sua chiusura sequenziale. Si consideri lo spazio topologico A U {x} e si definisca:
f(y)= 1 se y=x
f(y)=0 altrove
Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:
1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)
Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)
Risposte
Hi. I didn't send to you any link. In any case, there is not a set $A$ for which its closure is bigger than its "sequential closure" (whatever ir is). Or maybe I misunderstood, could you define what do you mean by chiusura sequenziale?
By the way, your function is not "sequentially continuous" in $x$.
An accumulation point $x$ of a set $A$ is a point such that, for all neighbourhood $U$ of $x$, we have that $A\cap(U\backslash\{x\})\ne \emptyset$. I don't know if this was what you wanted to say.
By the way, your function is not "sequentially continuous" in $x$.
Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)
An accumulation point $x$ of a set $A$ is a point such that, for all neighbourhood $U$ of $x$, we have that $A\cap(U\backslash\{x\})\ne \emptyset$. I don't know if this was what you wanted to say.
I didn't gave you that link xD Any ways, the example works, but it has not nothing to do with your example because, as I told you there's not a closed set not containing its sequence's limits. I mean, you didn't even copy it properly.
"antonio9992":
Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:
1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)
Per quanto riguarda questi 3 punti c'è qualcosa di sbagliato?
On one hand, the set $A$ doesn't exist. On the other hand, if I am correct, you are denoting by $\{x\}$ the set of pointS which are in the closure of $A$ but not in its "sequential closure". That's a bad notation because someone could think that $\{x\}$ is a singleton.
1. Anyways, this set "$\{x\}$" is actually open, because it's the empty set.
2. Then for all subsets $A$ of $X$ you actually have $f$ defined only in $A$ (because your set "$\{x\}$" is the empty set, so $A\cup\{x\}=\emptyset$).
And I don't understand what do you mean with point 3.
1. Anyways, this set "$\{x\}$" is actually open, because it's the empty set.
2. Then for all subsets $A$ of $X$ you actually have $f$ defined only in $A$ (because your set "$\{x\}$" is the empty set, so $A\cup\{x\}=\emptyset$).
And I don't understand what do you mean with point 3.
A non esiste e {x} è vuoto? Ora sono confuso
Perché A non esiste?
Non esiste un punto che appartiene alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale?
Perché A non esiste?
Non esiste un punto che appartiene alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale?
Closed sets are sets that contain all the limits of tis convergent sequences, so they are sequentially closed. Then, there are not sets $A$ as you said and, then, for every $A$ the set "$\{x\}$" is empty.
Tu intendi dire che A è chiuso e per tal motivo non esiste? Sicuro che un chiuso no esista? A non è un chiuso
Forse A U {x} è chiuso
{x} è l'insieme dei punti che appartengono alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale, non dovrebbe essere vuoto
Forse A U {x} è chiuso
{x} è l'insieme dei punti che appartengono alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale, non dovrebbe essere vuoto
A set $A$ in a topologic space $X$ is closed if and only if it contains the limit of all its convergent sequences. Then, if $A$ is a subset of $X$, you have that its closure is equal to the "sequential closure", so, if "$\{x\}$" is the set of points of the sequential closure of $A$ which are not in the closure of $A$, you have that "$\{x\}$" does not contain any point, i.e., it is empty.
"javicemarpe":
A set $A$ in a topologic space $X$ is closed if and only if it contains the limit of all its convergent sequences. Then, if $A$ is a subset of $X$, you have that its closure is equal to the "sequential closure", so, if "$\{x\}$" is the set of points of the sequential closure of $A$ which are not in the closure of $A$, you have that "$\{x\}$" does not contain any point, i.e., it is empty.
Ma perché dici che A è chiuso?
I am not saying $A$ to be closed, but $\overline{A}-seqcl(A)=\emptyset$, where $seqcl(A)$ is the "sequential closure" of $A$. Then, $\{x\}$ is empty.
Scusa allora ad A che è aperto aggiungo tale insieme vuoto {x} la loro unione è chiuso?
A è diverso da A U {x} ?
A U {x} è anche un aperto perché unione di due aperti giusto?
Perdona l'insistenza
A è diverso da A U {x} ?
A U {x} è anche un aperto perché unione di due aperti giusto?
Perdona l'insistenza
Hai detto che ho ricopiato male l'esempio, ma li dice:
"...subset A whose closure is strictly larger than its sequential closure..."
Ed hai detto che ciò non è possibile
"...subset A whose closure is strictly larger than its sequential closure..."
Ed hai detto che ciò non è possibile
Da Wikipedia:
"Si dimostra che ogni sottoinsieme aperto di X è sequenzialmente aperto e che ogni sottoinsieme chiuso di X è sequenzialmente chiuso. In generale, queste proposizioni non ammettono l'inverso."
"Si dimostra che ogni sottoinsieme aperto di X è sequenzialmente aperto e che ogni sottoinsieme chiuso di X è sequenzialmente chiuso. In generale, queste proposizioni non ammettono l'inverso."
I think that the best thing you can do is to study some basics about topology. They're easy things and you will understand everything better.
On the other hand, as I see that you don't trust me (or maybe you don't understand me), I'll give you as a reference the book of Munkres, which is a very good book on topology. You should read it if you are actually interested in these topics. I attach a screenshot in which it appears the theorem I told you, a set is closed iff it contanis all its limit points (which are the limits of sequences of points in the set) and, then, the closure of a set $A$ is not other thing that $A\cup A'$, where $A'$ is the set of limit points of $A$.
Maybe we're not talking about the same thing... What do you mean by "sequential closure" of a set$A$?
On the other hand, as I see that you don't trust me (or maybe you don't understand me), I'll give you as a reference the book of Munkres, which is a very good book on topology. You should read it if you are actually interested in these topics. I attach a screenshot in which it appears the theorem I told you, a set is closed iff it contanis all its limit points (which are the limits of sequences of points in the set) and, then, the closure of a set $A$ is not other thing that $A\cup A'$, where $A'$ is the set of limit points of $A$.
Maybe we're not talking about the same thing... What do you mean by "sequential closure" of a set$A$?
No perché dalla definizione un chiuso contiene i suoi punti di aderenza (aderenti points), ma non tutti i punti di aderenza sono di accumulazione (limit points). Però in realtà hai ragione tu, perché i punti che non appartengono alla chiusura sequenziale ma solo alla chiusura sono i punti isolati che appartengono all'insieme.
Quindi nell'esempio quando dice: "Take any x which lies in the closure of A but not in the sequential closure of A."
Intende dire, in modo più semplice, che: "Prendiamo i punti isolati di A e chiamiamoli x."
Quindi {x} è l'insieme dei punti isolati di A e non è vuoto.
Dimmi, ora ci troviamo?
Quindi nell'esempio quando dice: "Take any x which lies in the closure of A but not in the sequential closure of A."
Intende dire, in modo più semplice, che: "Prendiamo i punti isolati di A e chiamiamoli x."
Quindi {x} è l'insieme dei punti isolati di A e non è vuoto.
Dimmi, ora ci troviamo?
An isolated point which is not in $A$ can not be in the closure of $A$, so, if you take the sequential closure (which you didn't define, it's the third time I ask you for it), the only way to have $x$ an isolated point in this set (in the sequential closure) is to have it contained in $A$ (because, as the Corollary above says: the closure of a set is the same as it's "sequential closure").
"antonio9992":
i punti isolati che appartengono all'insieme
Chiusura sequenziale: dato un sottoinsieme A di uno spazio topologico X l'insieme dei punti di X che possono essere espressi come convergenza di una successione di punti appartenenti A è detta chiusura sequenziale di A
O in modo più semplice: sia X uno spazio topologico la chiusura sequenziale di A e l'insieme:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a3942362792ac9118a95f61d7a982b05ddd3e7[/img]
I punti della chiusura sequenziale ovviamente sono di accumulazione e vale quello che ho detto.
Inoltre non tutti i punti di accumulazione appartengono alla chiusura sequenziale, quindi {x} contiene i punti isolati di A e i punti di accumulazione di A che non appartengono ne ad A e ne alla sua chiusura sequenziale.
As I told you, an isolated point $x$ can only belong to the closure of $A$ iff $x\in A$. And, as I told you, the clausure of a set is the same thing as the sequential closure.
Quindi "$\{x\}$" è vuoto.
Quindi "$\{x\}$" è vuoto.
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