Funzione sequenzialmente continua
Ho trovato questo esempio in rete di funzione sequenzialmente continua ma non continua ( il link credo me l'ha dato javicemarpe):
Si prenda uno spazio topologico X in modo tale che esista un sottoinsieme A la cui chiusura sia strettamente maggiore della sua chiusura sequenziale. Si consideri ogni x che si trovi nella chiusura di A ma non nella sua chiusura sequenziale. Si consideri lo spazio topologico A U {x} e si definisca:
f(y)= 1 se y=x
f(y)=0 altrove
Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:
1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)
Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)
Si prenda uno spazio topologico X in modo tale che esista un sottoinsieme A la cui chiusura sia strettamente maggiore della sua chiusura sequenziale. Si consideri ogni x che si trovi nella chiusura di A ma non nella sua chiusura sequenziale. Si consideri lo spazio topologico A U {x} e si definisca:
f(y)= 1 se y=x
f(y)=0 altrove
Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:
1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)
Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)
Risposte
Seguendo le definizioni la chiusura è maggiore o uguale della chiusura sequenziale, se dovessero coincidere è per via del teorema che dici tu, ora lo cerco sul web e lo studio.
Era per mettere le cose in chiaro, non ho detto che quel teorema non valga, non ho detto che la chiusura sia strettamente maggiore.
L'insieme {x} contiene almeno i punti isolati di A, ma la sua unione con A equivale ad A stesso (dato che deve valere quel teorema sulla chiusura).
Era per mettere le cose in chiaro, non ho detto che quel teorema non valga, non ho detto che la chiusura sia strettamente maggiore.
L'insieme {x} contiene almeno i punti isolati di A, ma la sua unione con A equivale ad A stesso (dato che deve valere quel teorema sulla chiusura).
"antonio9992":
Seguendo le definizioni la chiusura è maggiore o uguale della chiusura sequenziale, se dovessero coincidere è per via del teorema che dici tu, ora lo cerco sul web e lo studio.
Era per mettere le cose in chiaro, non ho detto che quel teorema non valga, non ho detto che la chiusura sia strettamente maggiore.
L'insieme {x} contiene almeno i punti isolati di A, ma la sua unione con A equivale ad A stesso (dato che deve valere quel teorema sulla chiusura).
The set "$\{x\}$" of points in the closure but not in the "sequential closure" is the empty set by the theorem above. Then, of course $A$ is equal to $A\cup \{x\}$, but it does not contain the isolated points of $A$ (because the isolated points are limits of constant sequences, so they are not in that difference). I thing this topic is finished.
Si va bene cosí, grazie mille.
Ti trovi però nel fatto che {x} debba essere l'insieme dei punti isolati affinché l'esempio sia corretto? (Non doveva essere chiamato differenza di chiusura e chiusura sequenziale ma per quello che è: insieme dei punti isolati di A)
You didn't understand anything. I can't do anything else.
No ho sbagliato, {x} deve essere uguale ai punti di accumulazione che non appartengono alla chiusura sequenziale affinché l'esempio sia valido. Il teorema non dice che chiusura e chiusura sequenziale coincidono.
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