Funzione ripartizione decrescente

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Vorrei dimostrare a me stesso che la seguente funzione $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ è decrescente (il mio testo non specifica se in senso stretto)\[f(p)=\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} \]dove $k La derivata mi risulta \(f'(p)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i} p^{i-1}(1-p)^{n-i-1}(i-np)\) ma non riesco ad arrangiare la sommatoria in nessun modo conclusivo che renda evidente che sia negativa, cosa che dimostrerebbe quanto voluto...
Qualcuno sarebbe così buono da darmi una mano?
Chiedo qui perché, pur trattandosi della funzione di ripartizione di una distribuzione binomiale, direi che il mio problema sia di natura analitica... Mi scuso con i moderatori se ho sbagliato...
$+\infty$ grazie a tutti!!!

EDIT: corretto errore terminologico grazie a Lory314.

[Lory314]

Quanto scrivi mi lascia perplesso (ma i miei ricordi di statistica sono vaghi)

1.) Quella che scrivi è la CDF di una Binomiale, non di una Bernoulli.

2.) Mi pare di ricordare che le CDF fossero sempre non decrescenti.

[gugo82]

"Lory314":2.) Mi pare di ricordare che le CDF fossero sempre non decrescenti.

Vero, ma sono non decrescenti rispetto alla "vera" variabile, cioé \(k\) nel caso in esame.

Qui, invece, mi pare si stia ponendo un problema diverso: per fissati \(k\) ed \(n\), è vero che la funzione \(f(p):=\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i}\) è decrescente rispetto alla probabilità \(p\) in \([0,1]\)?

Evidentemente un'indizio c'è, perché \(f(0)=1>0=f(1)\); però il Calcolo Differenziale non aiuta.
Ed al momento non mi viene niente in mente... Però, "ad occhio", propenderei per la monotonia.

Tanto per farti un'idea, hai provato a fare dei diagrammi per vari valori di \(k\) ed \(n\)?

[DavideGenova1]

"Lory314":Quella che scrivi è la CDF di una Binomiale, non di una Bernoulli.

Ops... La funzione di ripartizione per la bernoulliana è definita da \(F(0)=1-p\), \(F(1)=1\)... Essendo una binomiale somma di bernoulliane ho commesso un errore terminologico...

"gugo82":Qui, invece, mi pare si stia ponendo un problema diverso: per fissati \( k \) ed \( n \), è vero che la funzione \( f(p):=\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} \) è decrescente rispetto alla probabilità \( p \) in \( [0,1] \)?

Sì, sì, è quello che intendevo dire: come funzione di $p$.

"gugo82":Tanto per farti un'idea, hai provato a fare dei diagrammi per vari valori di \( k \) ed \( n \)?

Sì ed oltretutto è pure intuitivo, direi, che, se la probabilità di un evento aumenta, diminuisca la probabilità che su $n$ esperimenti si verifichi meno di $k+1$ volte. Pensare che il mio libro tralascia la dimostrazione con il consueto può essere dimostrato facilmente... Credevo si potesse riarrangiare la sommatoria della derivata in qualche modo tale che risultasse evidente che è $<0$, ma ci ho perso ore fino a tarda notte senza concludere nulla...
$+\infty$ grazie ancora a tutti e due!