Funzione Reimann integrabile

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pingu1986

24 lug 2008, 17:13

Sai f: [0;1]-->R una funzione Reimann integrabile in [0;1] e tale che ∫(tra 0 estermo inf. 6 estremo sup.)f(x)dx=6.
Motivare con esempi o controesempi se le seguenti affermazioni sono vere o false:
A) f(x)>=0 per ogni x €[0;1]
B) esiste un x* € [0;1] tale che f(x)*=6
C) f(x)<= 6 per ogni x € [0;1]

C'è qualche teorema che mi aiuta nella risoluzione di questo di integrale??
Grazie infinite per l'attenzione.

Risposte

pingu1986

24 lug 2008, 22:07

credo sia difficile risolvere questo integrale..forse non è scritto bene??

gugo82

24 lug 2008, 23:43

"pingu1986":
Sia $f: [0,1] to RR$ una funzione Reimann integrabile in $[0,1]$ e tale che $\int_0^6 f(x)" d"x=6$.
Motivare con esempi o controesempi se le seguenti affermazioni sono vere o false:
A) $f(x)>=0$ per ogni $x in [0,1]$
B) esiste un $x^** in [0,1]$ tale che $f(x^**)=6$
C) $f(x)<= 6$ per ogni $x in [0,1]$.

C'è qualche teorema che mi aiuta nella risoluzione di questo di integrale??
Grazie infinite per l'attenzione.

Impara ad usare il Mathml: la guida la trovi qui.

Ad ogni modo, credo che l'estremo superiore dell'integrale sia sbagliato; volevi forse scrivere $\int_0^1 f(x)" d"x=6$?

L'integrale, ovviamente, non si può "risolvere" esplicitamente: per fare ciò dovresti avere a disposizione un'espressione esplicita dell'integrando, che però non hai.

Per rispondere alla domanda, facciamo un po' mente locale...

Ad esempio sai che $\int_0^(3/2pi) sinx" d"x=1>0$, però $sin x$ non è sempre $ge 0$ in $[0,3/2pi]$... ciò ti fa capire che la condizione $\int_a^bf(x)" d"x>0$ non implica necessariamente $fge 0$ in $[a,b]$ (qualunque siano $a,b$ ed il valore dell'integrale) e perciò la A) può non essere sempre vera.

D'altra parte, hai $\int_0^(7/4pi) sinx" d"x=1-sqrt2/2>0$ e però non è vero che $sinx le 1-sqrt2/2$ in tutto $[0,7/4pi]$... quindi nemmeno la C) può essere sempre vera.
[N.B.: questi esempi possono essere tutti "aggiustati" in modo che l'intervallo d'integrazione coincida con $[0,1]$ e gli integrali definiti abbiano tutti il valore $6$.]

Queste "stranezze" si verificano per il semplice fatto che l'integrale dà delle informazioni "medie" sull'andamento della funzione integranda nell'intervallo d'integrazione: pertanto è sempre un po' difficile risalire alle proprietà effettive dell'integrando conoscendo unicamente il valore del suo integrale definito su un intervallo.

Rimane la B)... Allora vedi che l'ampiezza dell'intervallo d'integrazione è uguale ad $1$: pertanto il Teorema della media ti assicura che esiste almeno un $x^** in [0,1]$ tale che $f(x^**)=(\int_0^1f(x)" d"x)/1=\int_0^1f(x)" d"x=6$, che è proprio la B)!

Quindi la risposta giusta è B) in base al Teorema della media.

Nota bene però che la risposta B) è giusta solo perchè l'ampiezza dell'intervallo d'integrazione è, nel caso in esame, unitaria.
Infatti, hai $\int_0^pi 3sinx" d"x=6$ e però non esiste nessun $x^** in [0,pi]$ tale che $3sin x=6$ (vedi che l'ampiezza dell'intervallo d'integrazione è $pi!=1$)... quindi in generale non è sempre garantita l'esistenza di $x^** in [a,b]$ tale che $f(x^**)=\int_a^b f(x)" d"x$.

Fioravante Patrone1

25 lug 2008, 05:12

Veramente a pingu1986 era già stato detto di usare MathML, e non solo:
https://www.matematicamente.it/forum/der ... tml#236182
Space che i suoi "buoni propositi" siano evaporati tanto rapidamente.

Quanto all'esercizio, c'è una svista di Gugo82. L'ipotesi è solo di integrabilità per $f$, non di continuità, per cui il teorema della media non si può applicare. Anche la B è falsa, come si può vedere da semplici controesempi.

gugo82

25 lug 2008, 08:33

"Fioravante Patrone":
Veramente a pingu1986 era già stato detto di usare MathML, e non solo:
https://www.matematicamente.it/forum/der ... tml#236182
Space che i suoi "buoni propositi" siano evaporati tanto rapidamente.

Quanto all'esercizio, c'è una svista di Gugo82. L'ipotesi è solo di integrabilità per $f$, non di continuità, per cui il teorema della media non si può applicare. Anche la B è falsa, come si può vedere da semplici controesempi.

Vero.

Grazie della correzione prof.

Fioravante Patrone1

25 lug 2008, 08:44

"Gugo82":

Grazie della correzione prof.

Pego, stud.

Comunque stai per cambiare "status", e si nota:
https://www.matematicamente.it/forum/leg ... tml#239477
"E' stato chiarissimo. Grazie!"
Pregasi notare l'uso del "lei" e la comparsa della parola chiave "chiarissimo"