Funzione regolare o $in C^1$?
ciao a tutti,
ho una domanda su un punto prettamente teorico:
è equivalente dire che una funzione è regolare o che è di classe $C^1$? "regolare" e "$\in C^1$" sono concetti equivalenti? o c'è una -seppur minima- differenza?
da quel che io ho capito, sono la stessa cosa. ma se così fosse, non ci sarebbe la necessità di avere due modi per indicare una stessa cosa. mi aiutate a gettare un po' di luce sulla questione?
grazie in anticipo per le risposte.
ho una domanda su un punto prettamente teorico:
è equivalente dire che una funzione è regolare o che è di classe $C^1$? "regolare" e "$\in C^1$" sono concetti equivalenti? o c'è una -seppur minima- differenza?
da quel che io ho capito, sono la stessa cosa. ma se così fosse, non ci sarebbe la necessità di avere due modi per indicare una stessa cosa. mi aiutate a gettare un po' di luce sulla questione?
grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Il significato di "regolare" dipende generalmente dal contesto; può voler dire $C^1$, $C^{\infty}$, analitica, ...
ah ok. nel mio libro viene introdotta come una definizione tanto universale quanto univoca la definizione di "funzione continua".
questo è quanto afferma: "una funzione continua a tratti si dirà regolare a tratti in un intervallo se è derivabile in esso, eccetto in n punti in cui non è continua, ed eventualmente in altri punti in numero finito, e se tale derivata è continua e limitata".
togliendo la clausola "a tratti" (poichè una funzione può anche essere di classe $C^1$ a tratti), a me sembra che le uniche differenze siano:
- $f \in C^1$ non implica che f sia limitata
- e non implica nemmeno che possa non essere derivabile in tot punti
direi quindi che l'insieme delle funzioni regolari è più grande di quelle di classe $C^1$.
sono elucubrazioni sensate almeno?
ovviamente tutto questo discorso sta in piedi solo se prendiamo per universale la definizione da me riportata di funzione regolare.
questo è quanto afferma: "una funzione continua a tratti si dirà regolare a tratti in un intervallo se è derivabile in esso, eccetto in n punti in cui non è continua, ed eventualmente in altri punti in numero finito, e se tale derivata è continua e limitata".
togliendo la clausola "a tratti" (poichè una funzione può anche essere di classe $C^1$ a tratti), a me sembra che le uniche differenze siano:
- $f \in C^1$ non implica che f sia limitata
- e non implica nemmeno che possa non essere derivabile in tot punti
direi quindi che l'insieme delle funzioni regolari è più grande di quelle di classe $C^1$.
sono elucubrazioni sensate almeno?
ovviamente tutto questo discorso sta in piedi solo se prendiamo per universale la definizione da me riportata di funzione regolare.
Mi sembra di capire che il tuo libro usi "regolare a tratti" come sinonimo di "$C^1$ a tratti", secondo la definizione data.
Detto questo, non puoi togliere "a tratti" per dedurne altre definizioni!
Una funzione $C^1$ è semplicemente una funzione derivabile con derivata continua; va da se che, se consideri funzioni su tutta la retta reale, una funzione $C^1$ può essere illimitata così come lo può essere la sua derivata.
Come dicevo prima, in genere "regolare" dipende dal contesto, e il suo significato viene tipicamente specificato all'inizio; ad esempio, in geometria differenziale o in analisi si intende tipicamente di classe $C^{\infty}$.
In fisica (o fisica matematica) il significato è, tipicamente, "derivabile quante volte basta per dar senso ai conti che seguono".
Detto questo, non puoi togliere "a tratti" per dedurne altre definizioni!
Una funzione $C^1$ è semplicemente una funzione derivabile con derivata continua; va da se che, se consideri funzioni su tutta la retta reale, una funzione $C^1$ può essere illimitata così come lo può essere la sua derivata.
Come dicevo prima, in genere "regolare" dipende dal contesto, e il suo significato viene tipicamente specificato all'inizio; ad esempio, in geometria differenziale o in analisi si intende tipicamente di classe $C^{\infty}$.
In fisica (o fisica matematica) il significato è, tipicamente, "derivabile quante volte basta per dar senso ai conti che seguono".
si, mi sa che intenda davvero "$C^1$ a tratti" ma con qualche "clausoletta" in più.
vabbeh che tanto è una definizione praticamente inutile per me. nel senso che la usa solo per i successivi 2-3 teoremi e mai più dopo.
grazie allora
risolto
vabbeh che tanto è una definizione praticamente inutile per me. nel senso che la usa solo per i successivi 2-3 teoremi e mai più dopo.
grazie allora
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