Funzione regolare a tratti
Dire se la seguente funzione è Regolare a tratti sull'Intervallo di definizione
$f(x)=e^(-x^2)$ su $[-1/2,1/2]$
Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento.
Guardando il grafico della $f(x)$ in $[-1/2,1/2]$ abbiamo che:
1) $0,77 <= e^-x^2 <=1$ quindi la funzione è limitata
2a) [verifico la derivabilità di f in ogni sottointervallo aperto]
non ci sono punti di non derivabilità $AA x in (a_i,b_i) sube [-1/2,1/2]$
perché guardando il grafico ci rendiamo conto che non ci sono punti di non derivabilità
(o meglio che: ci sono delle cuspidi , ma fanno parte della periodizzata di f di periodo: 1 )
2b)[verifico che esistono finiti il limite destro ed il limite sinistro rispettivamente per $x-->a_i^+$ e per $x-->b_i^-$ sia di $f$ che di $f'$]
- f è continua $AAx in (-1/2,1/2)$ ,
quindi sicuramente esistono finiti per ogni punto compreso nell'Intervallo $[-1/2,1/2]$
- f è derivabile $AAx in (-1/2,1/2)$,
quindi sicuramente $lim_(x->x_0) f'(x)$ esiste finito
- resta da studiare il comportamento agli estremi dell'Intervallo complessivo:
$f(x)=e^-(x^2)$,$f'(x)=-2xe^(x^2)$
$lim_(x->(-1/2)^+) e^-(x^2)=e^-(-1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(1/2)^-) e^-(x^2)=e^-(1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(-1/2)^+) (-2xe^-(x^2))=-2(-1/2)e^-(-1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(1/2)^-) (-2xe^-(x^2))=-2(1/2)e^-(-1/2)^2=-e^(-1/4)$
Risultato: $e^-(x^2)$ è regolare a tratti sull'Intervallo $[-1/2,1/2]$
$f(x)=e^(-x^2)$ su $[-1/2,1/2]$
Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento.
Guardando il grafico della $f(x)$ in $[-1/2,1/2]$ abbiamo che:
1) $0,77 <= e^-x^2 <=1$ quindi la funzione è limitata
2a) [verifico la derivabilità di f in ogni sottointervallo aperto]
non ci sono punti di non derivabilità $AA x in (a_i,b_i) sube [-1/2,1/2]$
perché guardando il grafico ci rendiamo conto che non ci sono punti di non derivabilità
(o meglio che: ci sono delle cuspidi , ma fanno parte della periodizzata di f di periodo: 1 )
2b)[verifico che esistono finiti il limite destro ed il limite sinistro rispettivamente per $x-->a_i^+$ e per $x-->b_i^-$ sia di $f$ che di $f'$]
- f è continua $AAx in (-1/2,1/2)$ ,
quindi sicuramente esistono finiti per ogni punto compreso nell'Intervallo $[-1/2,1/2]$
- f è derivabile $AAx in (-1/2,1/2)$,
quindi sicuramente $lim_(x->x_0) f'(x)$ esiste finito
- resta da studiare il comportamento agli estremi dell'Intervallo complessivo:
$f(x)=e^-(x^2)$,$f'(x)=-2xe^(x^2)$
$lim_(x->(-1/2)^+) e^-(x^2)=e^-(-1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(1/2)^-) e^-(x^2)=e^-(1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(-1/2)^+) (-2xe^-(x^2))=-2(-1/2)e^-(-1/2)^2=e^(-1/4)$
$lim_(x->(1/2)^-) (-2xe^-(x^2))=-2(1/2)e^-(-1/2)^2=-e^(-1/4)$
Risultato: $e^-(x^2)$ è regolare a tratti sull'Intervallo $[-1/2,1/2]$
Risposte
Mi sembra di intuire che stai parlando di $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita nel modo che dici per $x$ compreso tra $-1/2$ e $1/2$ ed estesa su tutto $\mathbb{R}$ in modo da essere $1$-periodica (con qualche discorso su quanto fa $f\left(1/2+k\right)$ per $k\in\mathbb{Z}$).Perché se no la risposta mi sembra ovvia. E' una questione di serie di Fourier?
Se è così forse è meglio che espliciti cosa ti è stato definito per "regolare a tratti". In ogni caso il tuo ragionamento mi sembra corretto. L'unico dubbio è che il calcolo dei limiti agli estremi di $f$ mi sembra inutile dato che la loro esistenza dovrebbe seguire per motivi generali dall'esistenza dei limiti di $f'$ (ma forse la cosa non ti è stata presentata così...)
Se è così forse è meglio che espliciti cosa ti è stato definito per "regolare a tratti". In ogni caso il tuo ragionamento mi sembra corretto. L'unico dubbio è che il calcolo dei limiti agli estremi di $f$ mi sembra inutile dato che la loro esistenza dovrebbe seguire per motivi generali dall'esistenza dei limiti di $f'$ (ma forse la cosa non ti è stata presentata così...)
"ViciousGoblin":
E' una questione di serie di Fourier?
Si, ho bisogno di verificare la regolarità della funzione al fine di poter applicare il teorema sulla convergenza puntuale della serie di fourier associata.
"ViciousGoblin":
Se è così forse è meglio che espliciti cosa ti è stato definito per "regolare a tratti".
Ricordiamo che :
<< una funzione $f$ si dice "regolare a tratti sull'intervallo $[a,b]$" se:
è limitata sull'intervallo e questo si può suddividere in un numero finito di intervalli $[a_i,b_i]$ tali che in ciascun $(a_i,b_i)$ f è derivabile ed inoltre esistono finiti i limiti per $x->a_i^+$ e per $x->b_i^-$ di $f$ e di $f'$>>
"ViciousGoblin":
L'unico dubbio è che il calcolo dei limiti agli estremi di f mi sembra inutile dato che la loro esistenza dovrebbe seguire per motivi generali dall'esistenza dei limiti di f' (ma forse la cosa non ti è stata presentata così...)
Perché?
[xdom="Mephlip"]@CallistoBello: È la seconda questa settimana carichi immagini, nonostante ti sia stato già fatto notare la prima. Questa volta mi limito a chiudere per $24$ ore, la prossima volta chiudo definitivamente (specialmente quando ciò che c'è da scrivere è così breve e con poche formule). Cortesemente, modifica il messaggio domani alla riapertura; grazie.[/xdom]
"Mephlip":
[xdom="Mephlip"]@CallistoBello: È la seconda questa settimana carichi immagini, nonostante ti sia stato già fatto notare la prima. Questa volta mi limito a chiudere per $24$ ore, la prossima volta chiudo definitivamente (specialmente quando ciò che c'è da scrivere è così breve e con poche formule). Cortesemente, modifica il messaggio domani alla riapertura; grazie.[/xdom]
chiaro niente immagini .
Se hai $f:]a,b[\to\mathbb{R}$ derivabile in $]a,b[$ e se $f'$ è limitata in $]a,b[$, allora $f$ è lipschitziana in
$]a,b[$ (si dimostra usando il teorema di Lagrange). Ne segue che $f$ è estendibile a una funzione continua su $[a,b]$ (qui si deve usare la completezza di $\mathbb{R}$).
Dunque se esistono i limiti agli estremi di $f'$ necessariamente esistono i limiti agli estremi di $f$ (ti metti vicino agli estremi per avere $f'$ limitata ...).
Comunque è una finezza.
$]a,b[$ (si dimostra usando il teorema di Lagrange). Ne segue che $f$ è estendibile a una funzione continua su $[a,b]$ (qui si deve usare la completezza di $\mathbb{R}$).
Dunque se esistono i limiti agli estremi di $f'$ necessariamente esistono i limiti agli estremi di $f$ (ti metti vicino agli estremi per avere $f'$ limitata ...).
Comunque è una finezza.
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