Funzione rect(*) e funzione gradino unitario ideale
Salve, ho notato che in alcuni libri la funzione rect(*) viene definita uguale a 0.5 nei due punti di discontinuità (di prima specie) mentre in altri nei due punti di discontinuità non viene definita.
Questo nche per la funzione gradino unitario ideale, ossia nel puntò di discontinuità (di prima specie) viene definito uguale a 0.5 in alcuni libri, mentre in altri non viene definito.
Perchè?
Quale scelta devo fare quando analizzo un problema?
Grazie.
Questo nche per la funzione gradino unitario ideale, ossia nel puntò di discontinuità (di prima specie) viene definito uguale a 0.5 in alcuni libri, mentre in altri non viene definito.
Perchè?
Quale scelta devo fare quando analizzo un problema?
Grazie.
Risposte
Che cambia? Quasi nulla. Tanto sono funzioni fatte apposta per essere integrate contro altre funzioni, quindi il loro comportamento in un singolo puntino è del tutto ininfluente. Per questo di solito si lasciano indefinite nelle discontinuità e buonanotte.
Se proprio vogliamo che le funzioni siano definite pure lì, allora conviene prendere il valore medio tra i limiti destro e sinistro, che poi è il risultato che otterremmo sviluppando in serie di Fourier e valutando la serie nelle discontinuità.
Se proprio vogliamo che le funzioni siano definite pure lì, allora conviene prendere il valore medio tra i limiti destro e sinistro, che poi è il risultato che otterremmo sviluppando in serie di Fourier e valutando la serie nelle discontinuità.
Se integro, per esempio, la funzione rect(*) nell'intervallo in cui essa vale 1 devo metterli negli estremi di integrazione i due punti di discontinuità?...perchè se lì la funzione vale 0.5....e questo che mi crea dei problemi...
Non ti crea proprio nessun problema, pensaci bene. Puoi anche dire che lì la funzione vale un miliardo e l'integrale avrà sempre lo stesso valore.
"dissonance":
Non ti crea proprio nessun problema, pensaci bene. Puoi anche dire che lì la funzione vale un miliardo e l'integrale avrà sempre lo stesso valore.
Non ci arrivo...se in quei due punti la rect(*) non vale 1 come posso semplificare la funzione integranda e porla uguale a 1 all'interno dell'integrale definito nell'intervallo in cui essa non è nulla?
Allora mettiamola così. Calcola l'integrale su \(\mathbb{R}\) della funzione
\[f(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & x \ne 0 \end{cases}.\]
Quanto fa?
\[f(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & x \ne 0 \end{cases}.\]
Quanto fa?
"dissonance":
Allora mettiamola così. Calcola l'integrale su \(\mathbb{R}\) della funzione
\[f(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & x \ne 0 \end{cases}.\]
Quanto fa?
0, perchè è un segmento e quindi sottende area nulla...
Esatto. Se definisci due funzioni tipo-gradino:
\[u_1(x)=\begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0.5 & x=0 \\ 0 & x<0\end{cases}\]
e
\[u_2(x)=\begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x=0 \\ 0 & x<0\end{cases}\]
vedi subito che la loro differenza \(u_1(x)-u_2(x)\) è pari a \(0.5f(x)\) (la \(f\) è quella definita nel post precedente). Quindi anche la differenza dei loro integrali è uguale a \(0.5\) volte l'integrale di \(f\) e perciò è zero.
Ragionando così puoi dimostrare in generale che, ai fini dell'integrazione, non importa il comportamento di una funzione in un numero finito di punti.
\[u_1(x)=\begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0.5 & x=0 \\ 0 & x<0\end{cases}\]
e
\[u_2(x)=\begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x=0 \\ 0 & x<0\end{cases}\]
vedi subito che la loro differenza \(u_1(x)-u_2(x)\) è pari a \(0.5f(x)\) (la \(f\) è quella definita nel post precedente). Quindi anche la differenza dei loro integrali è uguale a \(0.5\) volte l'integrale di \(f\) e perciò è zero.
Ragionando così puoi dimostrare in generale che, ai fini dell'integrazione, non importa il comportamento di una funzione in un numero finito di punti.
Grazie, mi hai illuminato 
Chiaro e preciso.
Chiaro e preciso.
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