Funzione reciproca

[CaMpIoN]

Ho una domanda sulla monòtonia della funzione reciproca, per calcolare la monotònia devo quindi porre la derivata prima maggiore di zero e vedere dove è crescente
\(\displaystyle y=x^{-1} \quad \to \quad y'=-x^{-2} \)
\(\displaystyle -x^{-2}>0 \quad \to \quad x^{-2}<0 \quad \to \quad \frac{1}{x^2}<0 \quad \to \quad x^2<0 \)
La derivata seconda non è mai maggiore di zero, quindi la funzione è decrescente ovunque.
Se però ho
\(\displaystyle -3<2 \)
Passando al reciproco devo quindi invertire il verso dovrei ottenere
\(\displaystyle -\frac{1}{3}>\frac{1}{2} \)
Questo però è sbagliato, ma la funzione è definita decrescente ovunque perché mi da questo risultato sbagliato allora?

[porzio1]

non hai tenuto conto del fatto che il grafico si "spezza" in corrispondenza di $x=0$ (punto in cui la funzione non esiste) e che
$lim_{x \to 0^(-)} 1/x=-infty$

$lim_{x \to 0^(+)}1/x=+infty$

[CaMpIoN]

Quindi in teoria il metodo è valido solo se i membri della disuguaglianza non si trovano in intervalli divisi da una discontinuità, giusto?
Se è così posso sapere qual'è il teorema che lo dimostra? sono curioso.

[porzio1]

no ,forse non ci siamo capiti
è giusto dire che la funzione è decrescente perchè per x<0 la funzione va da 0(escluso) a $-infty$ e poi riprende a decrescere per x>0 perchè va da $+infty$ a 0(escluso)

[CaMpIoN]

Allora mettendo caso di avere $a Mi riferivo a questo io, vedendo il tuo limite allora avevo pensato che dovevo farlo nei casi in cui $a$ e $b$ si trovino in due intervalli divisi da un punto di discontinuità, nel mio caso $a \in ]-\infty,0[$ e $b \in ]0,+\infty[$

[CaMpIoN]

Guardando il grafico ho capito che tutti i punti dell'intervallo $]0,+\infty[$ sono maggiori dei punti dell'intervallo $]-\infty,0[$. Allora mi chiedo in generale cosa devo fare quando mi trovo disuguaglianze come quelle?

[porzio1]

mettiamola così ,per capirci : la funzione è decrescente perchè lo è in ognuno delle sue parti continue e quindi è fuorviante fare il confronto tra due $x$ appartenenti a due tratti di curva "spezzati"
mi rendo conto che non mi sono espresso in forma rigorosa,ma spero che renda l'idea

[CaMpIoN]

Ah quindi in genere posso applicare il metodo solo in singoli intervalli di monotònia e non con $a$ e $b$ appartenenti a due intervalli diversi, nel mio caso entrambi crescenti, giusto?