Funzione reale è olomorfa?
Buongiorno ragazzi!
Volevo una conferma su questo esercizio:
Determinare tutti i punti in cui la funzione $f(x,y)=xy^2$ è olomorfa.
$f(x,y)=xy^2+i*0$,
$u(x,y)=xy^2$, $v(x,y)=0$
Quindi siccome non sono soddisfatte le condizoni di Cauchy-Riemann la funzione non è olomorfa.
È giusto cosi? Ho paura che stia commettendo qualche errore visto che in $RR^2$ la funzione è differenziabile.
E poi dal mio ragionamento segue che ogni funzione reale non è olomorfa.
Vi ringrazio se riuscirete a farmi vedere meglio la questione
Volevo una conferma su questo esercizio:
Determinare tutti i punti in cui la funzione $f(x,y)=xy^2$ è olomorfa.
$f(x,y)=xy^2+i*0$,
$u(x,y)=xy^2$, $v(x,y)=0$
Quindi siccome non sono soddisfatte le condizoni di Cauchy-Riemann la funzione non è olomorfa.
È giusto cosi? Ho paura che stia commettendo qualche errore visto che in $RR^2$ la funzione è differenziabile.
E poi dal mio ragionamento segue che ogni funzione reale non è olomorfa.
Vi ringrazio se riuscirete a farmi vedere meglio la questione
Risposte
Lo svolgimento va bene e la conclusione che ogni funzione reale non è olomorfa va anche bene. In effetti a volere essere proprio puntigliosi si potrebbe dire che la funzione è olomorfa in $0$, e solo in quel punto. (Difatti le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate in quel punto e inoltre uno può pure verificare direttamente che il limite \(\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}\) esiste e vale \(0\)).
Si tratta comunque di un dettaglio privo di importanza visto che, come pure nel calcolo differenziale reale, tutte le nozioni legate all'olomorfia hanno valore solo negli insiemi aperti.
Si tratta comunque di un dettaglio privo di importanza visto che, come pure nel calcolo differenziale reale, tutte le nozioni legate all'olomorfia hanno valore solo negli insiemi aperti.
@dissonance Grazie mille! Ora mi sento piu sollevata!
Forse meglio dire che le funzioni reali sono olomorfe solo se costanti.
Adesso però mi è sorto un altro dubbio. Come hai detto sappiamo che l'omolorfia ha a che fare con insiemi aperti. Per definizione so che una funzione è olomorfa in un punto se è olomorfa in un intorno di quel punto. Giusto?
Quindi in questo caso che è olomorfa in 0 significa che c'è un intorno dell'origine nel quale è olomorfa?
Forse meglio dire che le funzioni reali sono olomorfe solo se costanti.
Adesso però mi è sorto un altro dubbio. Come hai detto sappiamo che l'omolorfia ha a che fare con insiemi aperti. Per definizione so che una funzione è olomorfa in un punto se è olomorfa in un intorno di quel punto. Giusto?
Quindi in questo caso che è olomorfa in 0 significa che c'è un intorno dell'origine nel quale è olomorfa?
"melli13":
Per definizione so che una funzione è olomorfa in un punto se è olomorfa in un intorno di quel punto. Giusto?
Quindi in questo caso che è olomorfa in 0 significa che c'è un intorno dell'origine nel quale è olomorfa?
No. Questo esercizio è proprio un controesempio. Qua la derivata esiste in $0$ e solo in $0$.
Quindi è corretto dire che è olomorfa in $0$ oppure si dice solo che è differenziabile in $0$? Grazie
Io direi "olomorfa in $0$" ma comunque sono dettagli insignificanti. Magari è il caso di specificare che è olomorfa solo in un punto per evitare che qualcuno possa erroneamente pensare che è olomorfa in un intorno di $0$.
My two cents, sulla terminologia.
Il termine olomorfa l'ho visto usato solo per denotare funzioni complesse derivabili (in senso complesso) in insiemi aperti; quindi non userei il termine "funzione olomorfa in $0$" perchè $\{0\}$ non è un insieme aperto, preferendo semplicemente "funzione derivabile (in senso complesso) in $0$".
Il termine olomorfa l'ho visto usato solo per denotare funzioni complesse derivabili (in senso complesso) in insiemi aperti; quindi non userei il termine "funzione olomorfa in $0$" perchè $\{0\}$ non è un insieme aperto, preferendo semplicemente "funzione derivabile (in senso complesso) in $0$".
Grazie mille @dissonance e @gugo82!
@gugo82 sono d'accordo con te vista la definizione di "funzione olomorfa"!
@gugo82 sono d'accordo con te vista la definizione di "funzione olomorfa"
!
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