Funzione reale con variabile reale
ciao, l'esercizio mi chiede:
la grandezza $P=P(t)$ varia esponenzialmente al variare di $t$ con una legge del tipo $ P(t)=e^{a+bt} $. sapendo che $ P(0)=e $ e $ P(1)=e^2 $
1)studiare e tracciare il grafico della funzione reale $P=P(t)$ della variabile $t$
2)determinare l'equazione della retta $r$ alla curva $\gamma$ rappresentativa della funzione $P=P(t)$ nel punto di ascissa 2
3)calcolare l'area della regione piana delimitata dalla curva $\gamma$, dalla retta $r$ e dall'asse delle ordinate
per piacere non trovo niente da nessuna parte, come si risolve?
ho altri esercizi simili ma con leggi diverse del tipo $P(t)=ae^{bt}$
graziee
la grandezza $P=P(t)$ varia esponenzialmente al variare di $t$ con una legge del tipo $ P(t)=e^{a+bt} $. sapendo che $ P(0)=e $ e $ P(1)=e^2 $
1)studiare e tracciare il grafico della funzione reale $P=P(t)$ della variabile $t$
2)determinare l'equazione della retta $r$ alla curva $\gamma$ rappresentativa della funzione $P=P(t)$ nel punto di ascissa 2
3)calcolare l'area della regione piana delimitata dalla curva $\gamma$, dalla retta $r$ e dall'asse delle ordinate
per piacere non trovo niente da nessuna parte, come si risolve?
ho altri esercizi simili ma con leggi diverse del tipo $P(t)=ae^{bt}$
graziee
Risposte
Suggerimento: calcolati $a$ e $b$.
eh....come?
Usando i dati a tua disposizione.
"otta96":
Usando i dati a tua disposizione.
questo l'avevo capito... ma non so come si fa
"andreaciac":
questo l'avevo capito... ma non so come si fa
Leggendo attentamente la traccia:
"andreaciac":
$P=P(t) $ varia esponenzialmente al variare di $ t $ con una legge del tipo
$ P(t)=e^{a+bt} $
Sapendo che$ P(0)=e $ e $ P(1)=e^2 $
Ovvero
${ ( P(t)=e^{a+bt} ),(P(0)=e),( P(1)=e^2):}$
ti sembra più intuitivo così?
Ciao andreaciac,
Benvenuto sul forum!
Onestamente non capisco quali siano le tue difficoltà, anche perché poi dopo ciò che ti ha scritto Magma si vede subito che $ a = b = 1 \implies P = P(t) = e^{1 + t}$
Piuttosto mi sa che ti sei dimenticato di scrivere la parola "tangente" nel punto 2):
Benvenuto sul forum!
Onestamente non capisco quali siano le tue difficoltà, anche perché poi dopo ciò che ti ha scritto Magma si vede subito che $ a = b = 1 \implies P = P(t) = e^{1 + t}$
Piuttosto mi sa che ti sei dimenticato di scrivere la parola "tangente" nel punto 2):
"andreaciac":
2) determinare l'equazione della retta $r $ tangente alla curva $\gamma $ rappresentativa della funzione $P=P(t) $ nel punto di ascissa 2
@andreaciac: Sembra un problema da scuola superiore... Possibile che tu non sappia nemmeno da dove cominciare?
"gugo82":
@andreaciac: Sembra un problema da scuola superiore... Possibile che tu non sappia nemmeno da dove cominciare?
Scusatemi ragazzi ma ho preso la carriera universitaria dopo 7 anni di lavoro, e provengo da un professionale, i corsi non li ho potuti seguire sempre per lavoro ( sono partime adesso)
Aiutatemi!
Va bene, proviamo ad aiutarti...
Dunque, hai una legge del tipo $P(t)=e^{a+bt} $: siccome devi determinare le due costanti $a $ e $ b$, ti servono due condizioni, che ti vengono fornite dal testo:
$ e = P(0) = e^{a+b\cdot 0} = e^a $
$e^a $ è uguale a $e = e^1 $ solo se $a = 1 $. Ora introduciamo nella legge il valore $a = 1 $ ottenuto e ci ricaviamo $b $ tramite la seconda condizione:
$e^2 = P(1) = e^{1+b\cdot 1} = e^{1 + b} $
$ e^{1 + b} $ è uguale a $e^2 $ solo se $ 1 + b = 2 \implies b = 1 $
Dunque in definitiva si ha $a = b = 1 $ e $ P(t) = e^{1 + t} = e e^t $
A questo punto la funzione della quale è proposto lo studio è una semplice esponenziale moltiplicata per una costante, per cui ha dominio $D = \RR $ e codominio $C = \RR^+ = (0, +\infty) $. E' sempre crescente dato che $P'(t) = e e^t > 0 \quad \AA t \in \RR $. Presenta un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (l'equazione dell'asse $t$) ed interseca l'asse delle ordinate nel punto $A(0, P(0)) = A(0, e) $
Sei in grado ora di tracciare il grafico di tale funzione completando così il punto 1) ?
Dunque, hai una legge del tipo $P(t)=e^{a+bt} $: siccome devi determinare le due costanti $a $ e $ b$, ti servono due condizioni, che ti vengono fornite dal testo:
$ e = P(0) = e^{a+b\cdot 0} = e^a $
$e^a $ è uguale a $e = e^1 $ solo se $a = 1 $. Ora introduciamo nella legge il valore $a = 1 $ ottenuto e ci ricaviamo $b $ tramite la seconda condizione:
$e^2 = P(1) = e^{1+b\cdot 1} = e^{1 + b} $
$ e^{1 + b} $ è uguale a $e^2 $ solo se $ 1 + b = 2 \implies b = 1 $
Dunque in definitiva si ha $a = b = 1 $ e $ P(t) = e^{1 + t} = e e^t $
A questo punto la funzione della quale è proposto lo studio è una semplice esponenziale moltiplicata per una costante, per cui ha dominio $D = \RR $ e codominio $C = \RR^+ = (0, +\infty) $. E' sempre crescente dato che $P'(t) = e e^t > 0 \quad \AA t \in \RR $. Presenta un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (l'equazione dell'asse $t$) ed interseca l'asse delle ordinate nel punto $A(0, P(0)) = A(0, e) $
Sei in grado ora di tracciare il grafico di tale funzione completando così il punto 1) ?
"pilloeffe":
Va bene, proviamo ad aiutarti...
Dunque, hai una legge del tipo $P(t)=e^{a+bt} $: siccome devi determinare le due costanti $a $ e $ b$, ti servono due condizioni, che ti vengono fornite dal testo:
$ e = P(0) = e^{a+b\cdot 0} = e^a $
$e^a $ è uguale a $e = e^1 $ solo se $a = 1 $. Ora introduciamo nella legge il valore $a = 1 $ ottenuto e ci ricaviamo $b $ tramite la seconda condizione:
$e^2 = P(1) = e^{1+b\cdot 1} = e^{1 + b} $
$ e^{1 + b} $ è uguale a $e^2 $ solo se $ 1 + b = 2 \implies b = 1 $
Dunque in definitiva si ha $a = b = 1 $ e $ P(t) = e^{1 + t} = e e^t $
A questo punto la funzione della quale è proposto lo studio è una semplice esponenziale moltiplicata per una costante, per cui ha dominio $D = \RR $ e codominio $C = \RR^+ = (0, +\infty) $. E' sempre crescente dato che $P'(t) = e e^t > 0 \quad \AA t \in \RR $. Presenta un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (l'equazione dell'asse $t$) ed interseca l'asse delle ordinate nel punto $A(0, P(0)) = A(0, e) $
Sei in grado ora di tracciare il grafico di tale funzione completando così il punto 1) ?
grazie della dritta,
ho provato a rifarlo da capo da solo dopo aver letto e ho capito la prima parte,
mi sono calcolato i limiti e derivate e mi sono trovato una bella curva disegnandola e completando il primo punto.
poi sono passato al secondo punto e mi sa che li ho fatto un bel po di errori:
sapendo che l equazione di una retta è
$y=mx+q$
ho provato a calcolare,sostituendo la t con 2 ponendo
$y=P(t_0)=ee^2$
$m=P^{\prime}(t_0)=e2e$
$x=t_0$
ho sostituito nella formula
$ee^2=4e^2+q$ $rArr$ $-q=4e^2-e^3$ $rArr$ $q=-4e^2+e^3$
avrò sbagliato qualcosa perche mi viene un numero negativo se lo lascio cosi e non mi trovo piu col grafico
metre scrivevo questo mi è venuto il dubbio..
visto che ho calcolato q e non y basta sostituire il risultato che mi esce alla formula
$y=mx+q$
cosi che mi esce
$y=e^3$ ??
ditemi se ho sbagliato
"andreaciac":
cosi che mi esce [...]
Eh...
Dunque, come consiglio generale dovresti cercare di ragionare con un po' più di calma, senza farti prendere dal panico: nel punto 2) ti si chiede di determinare la retta tangente nel punto di ascissa $t_0 = 2 $; quindi come prima cosa io determinerei il punto di tangenza $T$. Si vede subito che $y_0 = P(t_0) = P(2) = e e^2 = e^3 $, quindi il punto di tangenza è $T(2, e^3) $
A questo punto l'equazione del fascio di rette passante per il punto $T$ è la seguente:
$y - y_0 = m(t - t_0) $
Fra tutte le rette passanti per il punto $T $ quella tangente, come avevi già intuito, si trova scegliendo $m = P'(t_0) $ e siccome $P'(t) = P(t) = e e^t $ si ha subito $P'(t_0) = P'(2) = e^3 $ e quindi l'equazione della retta $r$ tangente alla curva nel punto di ascissa $t_0 = 2 $ è la seguente:
$y - e^3 = e^3(t - 2) \implies y = e^3 t - e^3 $
Naturalmente si può fare anche con la retta $y = mt + q $ come avevi iniziato a fare tu, ma poi hai sbagliato i calcoli... Magari potresti provare a rifarli per esercizio.
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