Funzione "più vicina"
Ciao, amici! Sto cercando di eseguire un esercizio che chiede "qual è la funzione $a\cos x+b\sin x$ più vicina alla funzione $f(x)=\sin2x$ sull'intervallo da $-\pi$ a $\pi$" e "qual è la retta $c+dx$ più vicina".
Il calcolo di $a$ e $b$ mi sembrerebbe consistere nel trovare la proiezione di $f$ sul sottospazio $W="Span"(\cos x,\sin x)$ così:
\[\text{proj}_W (\sin2x)=\frac{\langle \sin2x, \cos x\rangle}{\langle\cos x,\cos x \rangle}\cos x+\frac{\langle\sin2x,\sin x \rangle}{\langle \sin x,\sin x \rangle}\sin x=\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\sin2x\text{d}x }{\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x\text{d}x}\cos x\]\[+\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin2x\text{d}x}{\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\text{d}x} \sin x=0\Rightarrow (a,b)=(0,0)\] come da soluzione libro. Analogamente calcolerei
\[\text{proj}_{\text{Span}(1,x)} (\sin2x)=c+dx=\frac{\langle \sin2x,1\rangle}{\langle1,1 \rangle}·1+\frac{\langle\sin2x,x \rangle}{\langle x,x \rangle} x=\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\text{d}x }{\int_{-\pi}^{\pi}\text{d}x}+\frac{\int_{-\pi}^{\pi}x\sin2x\text{d}x}{\int_{-\pi}^{\pi}x^2\text{d}x} x\]
$=-\frac{3}{2\pi^2}x$ e quindi $c=0$ e $d=-\frac{3}{2\pi^2}$, invece il libro dice che $c=0,d=0$. Qualcuno nota dove traviso?
Grazie di cuore a tutti!!!
Il calcolo di $a$ e $b$ mi sembrerebbe consistere nel trovare la proiezione di $f$ sul sottospazio $W="Span"(\cos x,\sin x)$ così:
\[\text{proj}_W (\sin2x)=\frac{\langle \sin2x, \cos x\rangle}{\langle\cos x,\cos x \rangle}\cos x+\frac{\langle\sin2x,\sin x \rangle}{\langle \sin x,\sin x \rangle}\sin x=\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\sin2x\text{d}x }{\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x\text{d}x}\cos x\]\[+\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin2x\text{d}x}{\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\text{d}x} \sin x=0\Rightarrow (a,b)=(0,0)\] come da soluzione libro. Analogamente calcolerei
\[\text{proj}_{\text{Span}(1,x)} (\sin2x)=c+dx=\frac{\langle \sin2x,1\rangle}{\langle1,1 \rangle}·1+\frac{\langle\sin2x,x \rangle}{\langle x,x \rangle} x=\frac{\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\text{d}x }{\int_{-\pi}^{\pi}\text{d}x}+\frac{\int_{-\pi}^{\pi}x\sin2x\text{d}x}{\int_{-\pi}^{\pi}x^2\text{d}x} x\]
$=-\frac{3}{2\pi^2}x$ e quindi $c=0$ e $d=-\frac{3}{2\pi^2}$, invece il libro dice che $c=0,d=0$. Qualcuno nota dove traviso?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Mi sa che hai ragione tu e che si sbaglia il libro.
Beh, \(\sin 2x\) è ortogonale a \(\operatorname{span} \{\cos x, \sin x\}\), quindi il risultato trovato è certamente corretto.
D'altra parte, \(\sin 2x\) è pure ortogonale a \(\operatorname{span} \{ 1\}\), quindi ti basta determinare \(\langle \sin 2x,x\rangle\), i.e.:
\[
\int_{-\pi}^\pi x\ \sin 2x\ \text{d} x \stackrel{t=2x}{=} \frac{1}{4}\ \int_{-2\pi}^{2\pi} t\ \sin t\ \text{d} t = \frac{1}{4} \left(\sin t-t\ \cos t\right) \Bigg|_{-2\pi}^{2\pi} = -\pi\; ,
\]
e \(\langle x,x\rangle\), i.e.:
\[
\int_{-\pi}^\pi x^2\ \text{d} x = \frac{1}{3}\ x^3\Bigg|_{-\pi}^\pi = \frac{2\pi^3}{3}\; ,
\]
sicché:
\[
d=\frac{-\pi}{\frac{2\pi^3}{3}} = - \frac{3}{2\pi^2}
\]
come volevi.
D'altra parte, \(\sin 2x\) è pure ortogonale a \(\operatorname{span} \{ 1\}\), quindi ti basta determinare \(\langle \sin 2x,x\rangle\), i.e.:
\[
\int_{-\pi}^\pi x\ \sin 2x\ \text{d} x \stackrel{t=2x}{=} \frac{1}{4}\ \int_{-2\pi}^{2\pi} t\ \sin t\ \text{d} t = \frac{1}{4} \left(\sin t-t\ \cos t\right) \Bigg|_{-2\pi}^{2\pi} = -\pi\; ,
\]
e \(\langle x,x\rangle\), i.e.:
\[
\int_{-\pi}^\pi x^2\ \text{d} x = \frac{1}{3}\ x^3\Bigg|_{-\pi}^\pi = \frac{2\pi^3}{3}\; ,
\]
sicché:
\[
d=\frac{-\pi}{\frac{2\pi^3}{3}} = - \frac{3}{2\pi^2}
\]
come volevi.
Quindi mi ci sono ammattito a cercar di capire dove sbagliassi per niente... $+oo$ grazie, ragazzi!!!
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