Funzione qualitativamente irrappresentabile
Come faccio a rappresentare qualitativamente una funzione che non ha asintoti verticali, ne punti angolosi e cuspidi e un comportamento asintotico incalcolabile? Boh.
Ho questa dannatissima funzione che ha come insieme di definizione $(-∞,+∞)$ e un'equazione $(1/(1+x^2))sin(x)$, derivabile e continua in tutto il dominio. Non ha senso cercare un punto angoloso od una cuspide, un asintoto verticale nemmeno e il comportamento asintotico dopo i calcoli mi viene $0(ente non esistente)$, come dovrei fare?
Da quale cappello magico lo tiro fuori il risultato di qualsivoglia cosa per $sin(+∞)$ che di per sè NON ESISTE??
Se il risultato poi fosse pure appunto "non esistente", se questa funzione non nemmeno un asintoto che cosa disegno? un grafico vuoto? praticamente non ha niente!
Ho questa dannatissima funzione che ha come insieme di definizione $(-∞,+∞)$ e un'equazione $(1/(1+x^2))sin(x)$, derivabile e continua in tutto il dominio. Non ha senso cercare un punto angoloso od una cuspide, un asintoto verticale nemmeno e il comportamento asintotico dopo i calcoli mi viene $0(ente non esistente)$, come dovrei fare?
Da quale cappello magico lo tiro fuori il risultato di qualsivoglia cosa per $sin(+∞)$ che di per sè NON ESISTE??
Se il risultato poi fosse pure appunto "non esistente", se questa funzione non nemmeno un asintoto che cosa disegno? un grafico vuoto? praticamente non ha niente!
Risposte
$lim_(x->\propto )(1/(1+x^2))sin(x)=0$
Allora, con calma, vediamo cosa si può, facilmente fare.
La funzione è simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Ha un asintoto orizzontale completo.
Interseca l'asse delle ascisse per ogni $ x=k \pi $ con $ k $ intero.
La derivata non è difficile da calcolare.
In ciascun intervallo fra due intersezioni con l'asse delle ascisse ha, alternativamente, un punto di massimo o di minimo.
Conoscendo la funzione e la sua derivata puoi trovare quanti punti vuoi con la rispettiva retta tangente.
Questo dovrebbe bastarti per disegnare il grafico della funzione con la precisione che più ti piace.
Un consiglio: se vuoi un grafico ben leggibile conviene usare unità di misura diverse sui due assi in modo da dilatarla verticalmente.
Ciao
B.
La funzione è simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Ha un asintoto orizzontale completo.
Interseca l'asse delle ascisse per ogni $ x=k \pi $ con $ k $ intero.
La derivata non è difficile da calcolare.
In ciascun intervallo fra due intersezioni con l'asse delle ascisse ha, alternativamente, un punto di massimo o di minimo.
Conoscendo la funzione e la sua derivata puoi trovare quanti punti vuoi con la rispettiva retta tangente.
Questo dovrebbe bastarti per disegnare il grafico della funzione con la precisione che più ti piace.
Un consiglio: se vuoi un grafico ben leggibile conviene usare unità di misura diverse sui due assi in modo da dilatarla verticalmente.
Ciao
B.
Ma perchè il limite con $x->∞$ dovrebbe tendere a 0? Come uscite dalla questione della non esistenza di $sin(∞)$?
$ sin(x) $ è sempre compreso fra $ -1 $ e $ 1 $ (estremi inclusi), $ 1+x^2 $ tende all'infinito per x tendente all'infinito. Il rapporto tende a $ 0 $, il suo valore assoluto diventa minore di qualsiasi numero positivo. Non capisco cosa ci trovi di strano.
Ciao
B.
Ciao
B.
Se vuoi 'vederlo' graficamente traccia le curve di equazione $ y=1/(1+x^2) " e " y={-1}/(1+x^2) $. La funzione che devi disegnare è sempre compresa fra quelle, anzi le tocca, alternativamente, in ogni intervallo fra due intersezioni con l'asse delle ascisse.
Ciao
B.
Ciao
B.
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