Funzione quadratica e iperpiano tangente

[francybys90]

ciao avrei bisogno di un aiuto per trovare l'equazione dell'iperpiano tangente passante nel punto (-1,0,2) di questa funzione quadratica: x^2 + y^2 - xy + 2x - 2y +z^2 + 2yz.
la professoressa a lezione si è limitata a darci questa formula: y=f(x0) + f'(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)HF(x0)(x-x0). f'=derivata
grazieeeeee

[Sk_Anonymous]

Meglio ragionare in generale: sia \(M\) una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^n\) ( - verificarlo! Perché bisogna assicurarsi che l'operazione di "ricerca del(l'iper)piano" abbia senso) di classe \(\mathcal{C}^k\) e di dimensione \(d\). Se \(f=0\) è un'equazione locale per \(M\) in un intorno di \(x \in M\), allora si ha che \[\text{Piano tangente ad M in x}=T_x M = \text{ ker} \, df(x) \]ove \(df(x) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n-d} \) è il differenziale di \(f\) in \(x\).

[francybys90]

scusa ma non ho capito nulla di quello che hai scritto!O.o grazie lo stesso per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Ti sto dicendo che il piano tangente ad una superficie regolare "scritta" come luogo degli zeri di una funzione smooth quanto basta (\(f=0\)) è generato dai vettori (indipendenti) del nucleo del differenziale di \(f\) calcolato nel punto di interesse.

Se ancora non ti è chiaro, usa la formula che ti è stata data e amen.

[Seneca1]

Credo che la domanda da porre a francybys90 è: che corso di studi fai?

[francybys90]

economia e commercio.

[Quinzio]

Spieghiamolo in un modo fose più elementare.

Se $f(x,y,z)=x^2 + y^2 - xy + 2x - 2y +z^2 + 2yz$

Trovi le 3 derivate parziali

$a=(\partial f)/(\partial x)$

$b=(\partial f)/(\partial y)$

$c=(\partial f)/(\partial z)$

E quindi $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ è l'iperpiano tangente.

In forma più compatta diventa (è la stessa cosa): $\nablaf\ cdot (\vec x -\vec x_0)=0$

[francybys90]

grazie mille!