Funzione prolungabile per continuità
Ciao a tutti, vi esporrò un dubbio sortomi durante una risoluzione di un esercizio. La questione è "banale" ma delicata e dipende fortemente dalle definizioni che ognuno conosce.
Supponiamo di avere una funzione [tex]\phi:\text{dom}(\phi)\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex], immaginiamo che il dominio [tex]\text{dom}(\phi)[/tex] sia una cosa del genere [tex](-\infty, x_0)\cup (x_0, +\infty)[/tex]. La funzione [tex]\phi[/tex] è continua e derivabile, con derivata continua nel suo dominio e gode delle seguenti particolarità:
[tex]\phi_{-}(x_0)= \phi_{+}(x_0)=0[/tex] (limite destro e sinistro coincidono e sono uguali a zero)
[tex]\phi'_{-}(x_0)= \phi'_{+}(x_0)=0[/tex] (stessa cosa per la derivata prima)
A questo punto possiamo definire una nuova (?) funzione [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]
[tex]f(x):=\left\{\begin{matrix} \phi(x)\qquad x\in \text{dom}(\phi)\\
0\qquad x=x_0\end{matrix}\right.[/tex]
la cui derivata è:
[tex]f'(x):=\left\{\begin{matrix} \phi'(x)\qquad x\in \text{dom}(\phi)\\
0\qquad x=x_0\end{matrix}\right.[/tex]
Ora, sapendo che per [tex]x_0[/tex], la funzione [tex]f[/tex] ha massimo relativo, posso dire che la funzione [tex]\phi[/tex] assume massimo relativo per lo stesso punto? Vi espongo le due scuole di pensiero:
1. E' la funzione [tex]\phi[/tex] ad essere ridefinita quindi ha massimo relativo per [tex]x=x_0[/tex].
2. Le due funzioni [tex]f[/tex] e [tex]\phi[/tex] sono distinte, hanno dominio diverso, perciò [tex]f[/tex] ha massimo relativo per [tex]x=x_0[/tex], mentre [tex]\phi[/tex] continua a non essere definita in quel punto.
Per inteso, io faccio parte della prima opzione, ma la seconda non mi sembra assurda ed ha creato in me qualche perplessità (non è che ci voglia tanto
). Spero che voi possiate togliermi questo stupido dubbio, grazie. 
Supponiamo di avere una funzione [tex]\phi:\text{dom}(\phi)\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex], immaginiamo che il dominio [tex]\text{dom}(\phi)[/tex] sia una cosa del genere [tex](-\infty, x_0)\cup (x_0, +\infty)[/tex]. La funzione [tex]\phi[/tex] è continua e derivabile, con derivata continua nel suo dominio e gode delle seguenti particolarità:
[tex]\phi_{-}(x_0)= \phi_{+}(x_0)=0[/tex] (limite destro e sinistro coincidono e sono uguali a zero)
[tex]\phi'_{-}(x_0)= \phi'_{+}(x_0)=0[/tex] (stessa cosa per la derivata prima)
A questo punto possiamo definire una nuova (?) funzione [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]
[tex]f(x):=\left\{\begin{matrix} \phi(x)\qquad x\in \text{dom}(\phi)\\
0\qquad x=x_0\end{matrix}\right.[/tex]
la cui derivata è:
[tex]f'(x):=\left\{\begin{matrix} \phi'(x)\qquad x\in \text{dom}(\phi)\\
0\qquad x=x_0\end{matrix}\right.[/tex]
Ora, sapendo che per [tex]x_0[/tex], la funzione [tex]f[/tex] ha massimo relativo, posso dire che la funzione [tex]\phi[/tex] assume massimo relativo per lo stesso punto? Vi espongo le due scuole di pensiero:
1. E' la funzione [tex]\phi[/tex] ad essere ridefinita quindi ha massimo relativo per [tex]x=x_0[/tex].
2. Le due funzioni [tex]f[/tex] e [tex]\phi[/tex] sono distinte, hanno dominio diverso, perciò [tex]f[/tex] ha massimo relativo per [tex]x=x_0[/tex], mentre [tex]\phi[/tex] continua a non essere definita in quel punto.
Per inteso, io faccio parte della prima opzione, ma la seconda non mi sembra assurda ed ha creato in me qualche perplessità (non è che ci voglia tanto
). Spero che voi possiate togliermi questo stupido dubbio, grazie.
Risposte
È il prolungamento ad avere massimo in [tex]$x_0$[/tex], a rigore.
Infatti, non essendo [tex]$\phi (x)$[/tex] definita in [tex]$x_0$[/tex], non ha senso dire che [tex]$\phi(x_0)\geq \phi (x)$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex] (che è la definizione di massimo locale).
Tuttavia, di solito, si evitano ambiguità di questo tipo semplicemente ridefinendo [tex]$\phi (x)$[/tex] come il prolungamento continuo della funzione assegnata in partenza.
Infatti, non essendo [tex]$\phi (x)$[/tex] definita in [tex]$x_0$[/tex], non ha senso dire che [tex]$\phi(x_0)\geq \phi (x)$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex] (che è la definizione di massimo locale).
Tuttavia, di solito, si evitano ambiguità di questo tipo semplicemente ridefinendo [tex]$\phi (x)$[/tex] come il prolungamento continuo della funzione assegnata in partenza.
Grazie mille gugo! La tua conferma mi fa ben sperare. Mi è chiaro che quello di "confondere" la funzione prolungata con la funzione originaria sia una convenzione, mi auguro solo che sia accettata da tutti. La seconda opzione mi è stata suggerita da un collega americano, con il quale era quasi iniziata una definition war 
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