Funzione plurisubarmonica

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Il mio BFF Hörmander scrive sul suo libro come esempio:
se $f$ è analitica su $\Omega\subset\mathbb{C}^n$, la funzione $log|f|$ è plurisubarmonica.
... e non ci spende parola oltre.

Chiaramente si vede ad occhio ( ), ma purtroppo devo tradurlo in dimostrazione.
Ordunque: $ z\mapsto log|f(z)|$ è continua su $\Omega$ in senso esteso (cioè su $\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$) poichè composizione di funzioni continue, eccetto per il logaritmo reale che però è continuo in senso esteso. Dunque la semicontinuità dall'alto dovrebbe essere sistemata.

Presi $a,b\in\mathbb{C}^n$ , chiamo $ \Omega' ={z\in\mathbb{C}: az+b\in\Omega}$. Devo mostrare che su $\Omega', z\mapsto log|f(az+b)|$ è subarmonica.
... ma come?

Paola

[gugo82]

Dipende dalla definizione di funzione subarmonica che hai: ce l'hai col laplaciano ([tex]$-\Delta u\leq 0$[/tex]) o con la proprietà di media ([tex]u(z_0)\leq \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial D(z_0;r)} u(z)\ \text{d} z[/tex])?

Ad ogni modo, se non ricordo male, quando $f(z)$ è analitica la funzione $\ln |f(z)|$ è subarmonica e questo potrebbe servirti.


P.S.: Ma che ci fai a Helsinki?

P.P.S.: Nell'avatar hai Death disegnata da Chris Bachalo, o sabglio?

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Tanto per cambiare, mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua! Il tuo suggerimento mi ha scrollata . Posso tenerti in tasca? Mi hanno dato un carico pazzesco di roba da fare in pochissimo tempo .
Ad Helsinki ci faccio l'Erasmus... sono qui ormai da 8 mesi e mezzo! A novembre mi ci trasferisco in pianta stabile, troppo bello qui.
Riguardo a Death, è lei, ma non so chi sia il disegnatore di questa vignetta in particolare... sono una grandissima fan di Gaiman e i due volumi di Death sono a mio avviso una delle sue creazioni migliori, in campo fumettistico si intende. Anche tu segui la serie di Sandman?

Paola