Funzione periodica
Sia $f:RR\rightarrow RR$ una funzione periodica. Se esiste $lim_{x\to+oo}f(x)$ allora $f$ è costante.
un esercizio che ho trovato carino...nulla di che però carino.
un esercizio che ho trovato carino...nulla di che però carino.
Risposte
"miuemia":
Sia $f:RR\rightarrow RR$ una funzione periodica. Se esiste $lim_{x\to+oo}f(x)$ allora $f$ è costante.
un esercizio che ho trovato carino...nulla di che però carino.
Hai difficoltà su questo esercizio, oppure è una piccola sfida proposta a coloro i quali stanno studiando o hanno studiato Analisi 1?
no no l'ho risolto era un suggerimento di esercizio.
tutto qui
tutto qui
"miuemia":
no no l'ho risolto era un suggerimento di esercizio.
tutto qui
Non si sa mai. Non l'hai specificato...
Ciao!
Non mi pare d'aver mai esplicitamente riflettuto sulla cosa,e dunque ti ringrazio dello spunto;
a ben pensarci credo d'aver sempre inconsciamente congetturato che è vero come,
assegnata una funzione periodica definita su tutto $RR$,
se essa non è costante non potrà mai ammettere limite per $x->oo$
(vedi le tre funzioni goniometriche elementari..):
naturalmente la tua formulazione è equivalente a quella mia inconscia congettura,
ma direi che è più semplice da verificare!
Andiamo al dunque,dici?
O.k..
Dim.
Indicato con T il periodo della generica funzione in esame,
ed osservato che si può supporre T>0 senza ledere la generalità delle ipotesi del nostro teoremino,
notiamo in primo luogo come nelle ipotesi fatte siano da escludere a priori i casi di divergenza della f;
se infatti,per fissare le idee,avessimo $EElim_(x->+oo)f(x)=+oo$,
potremmo dire che $AAkin(0,+oo)$ $EEM_kin(o,+oo)$ t.c. f(x)>k $AAkin(domf)nn(M_k,+oo)=RRnn(M_k,+oo)=(M_k,+oo)$:
assegnato dunque a piacere $overline{x}inRR(rArr|f(overline{x})|+1>0cdots)$,
avremmo che $EEM_overline{x}in(0,+oo)$ t.c. $f(x)>|f(overline{x})|$ $AAx$$in(M_overline{x},+oo)$(1) e pertanto,
scelto uno qualunque degli infiniti $hinZZ$ t.c. $overline{x}+hT>M_overline{x}$,
sarebbe per la (1) $f(overline{x}+hT)>|f(overline{x})|+1$,
da cui per l'ipotizzata periodicità di f potremmo dedurre la diseguaglianza assurda $f(overline{x})>|f(overline{x})|+1$.
Detto poi che in caso di negativa divergenza di f perveremmo,con gli ovvi adeguamenti tecnici,
ad analoga contraddizione,
consideriamo ora l'ultima ed unica eventualità di comportamento al limite compatibile con l'ipotesi di regolarità della f:
la convergenza..
Sia allora vero che $EElim_(x->+oo)f(x)=linRR$,ed ammettiamo per assurdo che in tal caso $EEx'inRR$ t.c. $f(x')!=l$;
noteremmo dunque che
$EElim_(x->+oo)f(x)=lhArrAAepsilonin(0,+oo)$ $EEM_\epsilonin(0,+oo)$ t.c. $|f(x)-l|
potremmo dire che $EEM_(x')in(0,+oo)$ t.c. |f(x)-l|<|f(x')-l| $AAx$$in(M_(x'),+oo)$:
scelto allora uno degli infiniti $m$$inZZ$ t.c. $m>(M_(x')-x')/ThArrx'+mT>M_(x')$,
avremmo per la (2) $|f(x'+mT)-l|<|f(x')-l|$ e dunque,ancora una volta per l'ipotizzata periodicità di f,
la disuguaglianza assurda $|f(x')-l|<|f(x')-l|$.
Quest'ultima contraddizione cui siamo pervenuti permetterà infine d'affermare che nelle ipotesi fatte $f(x)=l$ $AAx$ $inRR$:
la funzione data è dunque costante..
Saluti dal web.
Edit-
Naturalmente le ipotesi non valgono per la tangente,
ma forse basterebbe aggiungere la frase "definita in $RR$ privato al più d'un insieme numerabile di punti":
lo prendiamo come spunto d'ulteriore riflessione?
Non mi pare d'aver mai esplicitamente riflettuto sulla cosa,e dunque ti ringrazio dello spunto;
a ben pensarci credo d'aver sempre inconsciamente congetturato che è vero come,
assegnata una funzione periodica definita su tutto $RR$,
se essa non è costante non potrà mai ammettere limite per $x->oo$
(vedi le tre funzioni goniometriche elementari..):
naturalmente la tua formulazione è equivalente a quella mia inconscia congettura,
ma direi che è più semplice da verificare!
Andiamo al dunque,dici?
O.k..
Dim.
Indicato con T il periodo della generica funzione in esame,
ed osservato che si può supporre T>0 senza ledere la generalità delle ipotesi del nostro teoremino,
notiamo in primo luogo come nelle ipotesi fatte siano da escludere a priori i casi di divergenza della f;
se infatti,per fissare le idee,avessimo $EElim_(x->+oo)f(x)=+oo$,
potremmo dire che $AAkin(0,+oo)$ $EEM_kin(o,+oo)$ t.c. f(x)>k $AAkin(domf)nn(M_k,+oo)=RRnn(M_k,+oo)=(M_k,+oo)$:
assegnato dunque a piacere $overline{x}inRR(rArr|f(overline{x})|+1>0cdots)$,
avremmo che $EEM_overline{x}in(0,+oo)$ t.c. $f(x)>|f(overline{x})|$ $AAx$$in(M_overline{x},+oo)$(1) e pertanto,
scelto uno qualunque degli infiniti $hinZZ$ t.c. $overline{x}+hT>M_overline{x}$,
sarebbe per la (1) $f(overline{x}+hT)>|f(overline{x})|+1$,
da cui per l'ipotizzata periodicità di f potremmo dedurre la diseguaglianza assurda $f(overline{x})>|f(overline{x})|+1$.
Detto poi che in caso di negativa divergenza di f perveremmo,con gli ovvi adeguamenti tecnici,
ad analoga contraddizione,
consideriamo ora l'ultima ed unica eventualità di comportamento al limite compatibile con l'ipotesi di regolarità della f:
la convergenza..
Sia allora vero che $EElim_(x->+oo)f(x)=linRR$,ed ammettiamo per assurdo che in tal caso $EEx'inRR$ t.c. $f(x')!=l$;
noteremmo dunque che
$EElim_(x->+oo)f(x)=lhArrAAepsilonin(0,+oo)$ $EEM_\epsilonin(0,+oo)$ t.c. $|f(x)-l|
potremmo dire che $EEM_(x')in(0,+oo)$ t.c. |f(x)-l|<|f(x')-l| $AAx$$in(M_(x'),+oo)$:
scelto allora uno degli infiniti $m$$inZZ$ t.c. $m>(M_(x')-x')/ThArrx'+mT>M_(x')$,
avremmo per la (2) $|f(x'+mT)-l|<|f(x')-l|$ e dunque,ancora una volta per l'ipotizzata periodicità di f,
la disuguaglianza assurda $|f(x')-l|<|f(x')-l|$.
Quest'ultima contraddizione cui siamo pervenuti permetterà infine d'affermare che nelle ipotesi fatte $f(x)=l$ $AAx$ $inRR$:
la funzione data è dunque costante..
Saluti dal web.
Edit-
Naturalmente le ipotesi non valgono per la tangente,
ma forse basterebbe aggiungere la frase "definita in $RR$ privato al più d'un insieme numerabile di punti":
lo prendiamo come spunto d'ulteriore riflessione?
Urp!
Non ho seguito la tua dimostrazione, ma penso sia più semplice supporre per assurdo che $f$ non sia costante, cioè che esistano $x_0$ e $y_0$ tali che $f(x_0) \ne f(y_0)$.
A questo punto, detto $T>0$ il periodo di $f$, basta ragionare sulle successioni $x_k = x_0 + kT$ e $y_k = y_0 + kT$...
Non ho seguito la tua dimostrazione, ma penso sia più semplice supporre per assurdo che $f$ non sia costante, cioè che esistano $x_0$ e $y_0$ tali che $f(x_0) \ne f(y_0)$.
A questo punto, detto $T>0$ il periodo di $f$, basta ragionare sulle successioni $x_k = x_0 + kT$ e $y_k = y_0 + kT$...
"Rigel":
Urp!
Non ho seguito la tua dimostrazione, ma penso sia più semplice supporre per assurdo che $f$ non sia costante, cioè che esistano $x_0$ e $y_0$ tali che $f(x_0) \ne f(y_0)$.
A questo punto, detto $T>0$ il periodo di $f$, basta ragionare sulle successioni $x_k = x_0 + kT$ e $y_k = y_0 + kT$...
Ciao Rigel!!
Si,è praticamente quello che ho fatto:
solo che come al solito ho "monadizzato" talmente tanto il ragionamento che è diventato un papello
(di facile ed esaustiva lettura,spero..)!
Saluti dal web.
P.S.
Mi sei ancora "debitore" d'una discussione che ha minato i miei fonfamenti di base sull'Analisi
:se non vuoi far cadere parte di questo castello da me faticosamente costruito,
parliamone..
Magari pure in privato,se vuoi;
in quel caso dammi una mano,
perchè non riesco proprio ad inviare messaggi privati con meno di 15 tentativi:
figurati che credevo d'aver involontariamente fatto qualche violazione grave delle regole di questo eccellente forum,
che m'ha fatto riavvicinare ad un Amore di Gioventù..
[OT]
???
Purtroppo non ho memoria di tale discussione (mea culpa, difficilmente mi ricordo di fatti avvenuti oltre un orizzonte temporale che supera la mezz'ora).
Se mi rinfreschi la memoria evito una faticosa ricerca nei vecchi post.
"theras":
P.S.
Mi sei ancora "debitore" d'una discussione che ha minato i miei fonfamenti di base sull'Analisi
se non vuoi far cadere parte di questo castello da me faticosamente costruito,
parliamone..
???
Purtroppo non ho memoria di tale discussione (mea culpa, difficilmente mi ricordo di fatti avvenuti oltre un orizzonte temporale che supera la mezz'ora).
Se mi rinfreschi la memoria evito una faticosa ricerca nei vecchi post.
???
Purtroppo non ho memoria di tale discussione (mea culpa, difficilmente mi ricordo di fatti avvenuti oltre un orizzonte temporale che supera la mezz'ora).
Se mi rinfreschi la memoria evito una faticosa ricerca nei vecchi post.
Quella sulle specie dei punti di discontinuità:
era nata da un discorso sull'applicazione di tale concetto alla derivata prima d'una funzione.
Comunque,per quell'altro discorso,magari sbaglio ad usare il pannello controllo:
non basta digitare il messaggio privato e poi premere invio?
Saluti dal web.
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