Funzione particolare

[sandro5]

salve a tutti,
..devo studiare questa funzione:
$ f(x)=e^(-x)*sin(x) $



1)Il dominio:la restringo a $[0,2pi]$ o no? Ma vedo che esiste per x<0?
2)Positività: $f(x)>0 <=> sin(x)>0 <=> 0 3)Interseca l'asse delle x nel punto $A(pi,0)$
4)Limiti:quali devo fare in funzioni come queste?? e per i valori negativi?
$lim_(x->0+) f(x)=0$
$lim_(x->2pi) f(x)=0$
5)Andamento:
$e^(-x)*(cosx-sinx)>0 <=> cosx-sinx>0 <=> tan(x)<1 <=>$
$<=> 0< x 6)Flessi:
$f"(x)=-2*e^(-x)*cosx>0 <=> cosx>0 <=>3/2pi strett.concava in questi intervalli $ da 3/2pi a pi/2$ ?

Non sono andato oltre perchè non mi ritorna:come dovrebbe essere fatto lo studio di questa funzione o simili (mettiamo inoltre
che non avessi davanti il grafico prima di studiarla)?
sono confuso soprattutto per la parte a sinistra dell'asse y...

grazie ciao

[cavallipurosangue]

Come puoi ben vedere dal grafico la funzione non è periodica, quindi non puoi limitarti a studiarla in $[0,2\pi]$

[Camillo]

Qualche osservazione in aggiunta a quella di Cavallipurosangue .
La presenza del fattore $ e^-x $ fa perdere qualunque periodicità .

Zeri della funzione : poiche $e^-x $ non è mai nulla , anzi è sempre positiva , gli zeri sono gli stessi di $ sin x $ e quindi :
$ x = k*pi $ , $ k in ZZ $.
Il dominio è : $ - 00, +00 $ ; devi calcolare i limiti solo agli estremi dell'insieme di definizione , cioè per $ x rarr +00 $,
$x rarr -00 $ ; in tutti gli altri punti la funzione è definita e continua e quindi è inutile calcolare il limite , puoi calcolare facilemnte il valore che la funzione assume in quel punto ad es. per $x = pi $ la funzione vale $0 $ .etc.

$lim _(x rarr +00) f(x) = 0 $ (in quanto prodotto di una funzione limitata per una tendente a 0 ) mentre $lim_(xrarr -00) f(x) $ non esiste (il valore della funzione cresce sempre in valore assoluto ma oscilla tra valori positivi e negativi ) .

Positività : la funzione è positiva dove lo è la funzione sin x e quindi $ 2kpi < x < (2k +1) x , k in ZZ $.
La derivata l'hai calcolata, i punti in cui si annulla pure , dal segno della derivata prima deduci dove sono i max e i minimi etc.

Quando $x < 0 $ il fattore $ e^ -x $ diventa a esponente positivo e quindi cresce molto rapidamente formando delle oscillazioni sempre più forti, fermi restando i punti di zero della funzione e gli intervalli di positività e di negatività.

Camillo