Funzione parametrica

[Sk_Anonymous]

salve, ho un problema con questo esercizio, so effettuare lo studio di una funzione (CE, simmetrie, derivata ecc...) ma con questo tipo di esercizio non so come affrontarlo

determinare $a, b in RR$ tali che la funzione

$ f(x) = { (lnx .... se 0 < x <= e^2),(ax + b .... se x > e^2):} $

sia continua e differenziabile.

ho provato in diversi modi ma non riesco a trovare una relazione o un modo per trovare a,b
a me non interessa risolvere questo esercizio bensì imparare a risolvere questo tipo di esercizi.
spero in un vostro aiuto.
Grazie mille

[gugo82]

@12aquila: Modifica il titolo per favore: al posto di "funzione a,b" (???) suggerirei "differenziabilità funzione parametrica".

Inoltre, ti dispiacerebbe dire come hai provato a fare? O almeno le strade che hai pensato di percorrere.

[Sk_Anonymous]

solitamente scrivo sempre il procedimento che uso, ma in questo caso non avendo mai incontrato esercizi di questo tipo (infatti non sapevo che titolo mettere) ho fatto solo dei tentativi che non hanno portato a niente.
l'unico a cui sono arrivato che sembrerebbe lontanamente sensato è il seguente:

dato che $e^x$ è il punto che separa i due casi forse potrebbe essere:

$lim_(x->e^x) ln x = lim_(x->e^x) ax + b

ma non posso ricavare a e b.
hai qualche suggerimento?

[pater46]

$e^x$ ? $e^2$, no?

Comunque effettivamente è la prima volta che vedo qualcosa del genere. La condizione che hai posto tu lì riguarda la continuità... Poi in teoria dovresti imporre anche che sia derivabile, e quindi che la derivata prima sia continua in quel punto. Da qui ti puoi ricavare un'altra espressione...

Almeno io proverei a farlo così, non so se è la retta via!

[Sk_Anonymous]

grazie per la risposta,
si, è $e^2$ ho una confusione in testa x ora....
gentilmente mi potresti illustrare come imporre che la derivata prima sia continua in un punto? non mi è mai capitato di farlo. Grazie

[pater46]

io deriverei entrambi i termini ed eguaglierei i limiti al punto in questione.

$lim_{x->e^2^-} D(lnx) = lim_{x->e^2^+} D(ax+b) \to lim_{x->e^2^-} 1/x = lim_{x->e^2^+} a \to e^(-2) = a$

Attenzione: non sono per niente sicuro che tutto ciò sia legittimo nè che abbia un qualche fondamento... Prima di darti conferme vorrei vedere anche io quale sia il modo giusto di procedere per questo esercizio.

[Sk_Anonymous]

ok ma è un inizio, meglio di niente.grazie
proverò a lavorarci un pò su...

PS: nella derivata di (ax+b) hai considerato b come costante?

[pater46]

Effettivamente Poi ti verrebbe $b=1$ e controllando i grafici con derive il risultato sembrerebbe giusto

PS: comunque si, pensavo fosse scontato che a e b fossero costanti.

[Sk_Anonymous]

sicuramente saranno costanti,
ma potresti spiegarti meglio per favore?
b=1 lo dovrei ricavare dalle due condizioni di continuità e derivabilità?

[Sk_Anonymous]

forse ho capito, se ho che $a=e^-2$ lo ricavo da $ax+b$?
può essere così semplice?

[pater46]

Si. Cioè dalla seconda relazione ti sei trovato a, dalla prima sostituisci la a e ti trovi b. In pratica devi risolvere il sistema:

$ { ( 2 = ax+b ),( 1/(e^2) = a ):} $

Almeno, a me facendo così è venuto fuori un risultato interessante. Dopotutto abbiamo semplicemente imposto la condizione che limite destro e sinistro siano uguali ( condizione di continuità, se il punto in questione è di accumulazione ), sia alla funzione $f(x)$ che alla funzione $f'(x)$... imponendo dunque che la derivata della $f(x)$ sia continua, ovvero che la stessa sia derivabile.

A rigor di logica mi sembrano passaggi leciti, a maggior ragione viene un risultato che sembra giusto, quindi ti direi che è giusto procedere come abbiamo fatto

[j18eos]

Basta imporre: [tex]\lim_{x\to e^2}logx=2=\lim_{x\to e^2}ax+b=ae^2+b[/tex] per quanto riguarda la continuità; per la differenziabilità, dovendo essere [tex]f'(x)=\begin{cases}1/x\iff 0e^2\end{cases}[/tex], si ha che [tex]\lim_{x\to e^2}1/x=1/(e^2)=a=\lim_{x\to e^2}a[/tex] da cui: [tex]a=e^{-2}[/tex] e [tex]b=1[/tex].

[Sk_Anonymous]

per la seconda relazione ovvero quella della derivabilità sono d'accordo e l'ho capita,
ma per la continuità tu hai ricavato nel sistema $2=ax+b$, ma il $lim_(x->e^2) ax+b$, sostituendo $a$ non sarebbe:$ 1/e^2 * e^2 + b -> 1+b$? (b=-1) e quindi la relazione non dovrebbe essere $2=1+b$?

PS:mi riferisco a pater46,
sto valutanto la risposta di j18eos

[pater46]

si esatto... e continuando dunque ci ritroviamo con... $b=1$

[asvg]xmin=0;
xmax=15;
axes();
stroke="red";
plot("y=ln(x)");
stroke="green";
plot("y=e^(-2)*x +1");
stroke="black";
text( [7.3890,2] , "Punto x=e^2" , above );[/asvg]

[Sk_Anonymous]

il procedimento più o meno è quello che abbiamo fatto fino ad ora, e mi convince, non capisco solo questo passaggio:

"j18eos":si ha che [tex]\lim_{x\to e^2}1/x=1/(e^2)=a=\lim_{x\to e^2}a[/tex] da cui: [tex]a=e^{-2}[/tex] e [tex]b=1[/tex].

lo puoi chiarire per favore?

[j18eos]

Certo, non ho esplicitato che dalle condizioni menzionate si ha che:
[tex]\begin{cases}ae^2+b=2\\a=e^{-2}=1/(e^2)\end{cases}[/tex]
fai i conti e ti trovi.
Ricordo che:
[tex]\forall a>0;x\in\mathbb{R},\,a^{-x}=1/(a^x)[/tex]

[Sk_Anonymous]

risolvendo il sistema ottengo $ { ( b=1 ),( a = e^-2 ):} $ giusto?
quindi qua è finito l'esercizio.

PS: bello il grafico

[Sk_Anonymous]

si "j18eos" lo stavo sviluppando e ci sono arrivato ora.

Grazie Mille ad entrambi per il vostro aiuto, mi sembrava una montagna insormontabile ma grazie a voi ci sono riuscito e cosa più importante ho capito il procedimento
Grazie ancora!!