Funzione Olomorfa

[squalllionheart]

Salve devo dimostrare la funzione $gamma$ è identicamente nulla, dove $gamma$ è così definita:
$gamma(z) = alpha(z) - beta(z)$
$alpha(z) = pi^2/(sin^2 (pi z))$
$beta(z) = sum_(n in ZZ) 1/(z-n)^2$

Allora l'idea giusta da seguire è dimostrare che $gamma$ è limitata e olomorfa, infatti fatto ciò potrei usare il teorema di Liuville che mi dice che $gamma$ è costante, quello che devo inoltre mostrare è che $gamma$ è proprio zero.
Come fareste voi?

[Sk_Anonymous]

Puoi trovare la dimostrazione della seguente proprietà:

$pi^2/(sin^2(piz))=sum_(n in ZZ)1/(z-n)^2$

in V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore III, Parte seconda, 64. Sviluppo di una funzione razionale in elementi semplici.

[squalllionheart]

Cerco di trovare il testo.
Grazie

[squalllionheart]

Speculor, grazie per il consiglio, ho trovato lo Smirnov, ora il mio proff ha usato il ragionameto a pag155, usando proprio il teorema di Liuville, però anche leggendo il testo non mi torna la questione, potresti aiutarmi con i dettagli...

Sappiamo che sia $alpha(z)$ che $beta(z)$ sono meromorfe, infatti sono olomorfe eccetto $z=n in ZZ$, inoltre sia $alpha(z)$ che $beta(z)$ sono limitate, per $y$ tende a $oo$ le funzioni tendono a $0$.
Ora $gamma(z)=alpha(z)-beta(z)$ poichè è differenza di funzioni olomorfe e anch'essa olomorfa?
Stessa cosa per dire che è limitata?
Allora essendo limitata e olomorfa è costante, inoltre poichè sia $alpha(z)$ che $beta(z)$ tendono a $0$ per $y$ che tende a $oo$ sarà proprio la funzione nulla.

[Sk_Anonymous]

A pagina 155 io trovo 38. Formula di Christoffel. Non vorrei avessimo edizioni diverse. In ogni modo, mi sembra che tu non voglia procedere secondo il procedimento che ti ho indicato. Hai letto quelle pagine oppure, vedendo che non facevano al caso tuo, sei passato ad un altro paragrafo?

[squalllionheart]

E' quel paragrafo se vai un attimino avanti trovi proprio quello che dico io.
Putroppo mi sembra incomprensibil, però credo di aver risolto per altre vie.
Grazie