Funzione non olomorfa
Devo risolvere il seguente integrale di funzione non olomorfa: \(\displaystyle \int \frac{|z|^2}{z-1}dz \) su una curva gamma che rappresenta una circonferenza centrata nell'origine e di raggio = 2.
Ho provato a farlo ponendo \(\displaystyle z(t) = 2exp(it) \).
Ottengo allora \(\displaystyle \int \frac{4cos^2t + 4sen^2t}{2cost + 2isent - 1}(2icost - 2sent)dt \) che diventa poi \(\displaystyle 4\int \frac{2icost - 2sent}{2cost + 2isent - 1}dt \).
A questo punto, essendo gli estremi di integrazione \(\displaystyle [0, 2\pi] \) ho trasformato l'integrale ponendo \(\displaystyle z = exp(i\theta) \) allora \(\displaystyle sent = \frac{z - \frac{1}{z}}{2i}, cost = \frac{z + \frac{1}{z}}{2}, dt = \frac{dz}{iz} \).
Allora ottengo \(\displaystyle -\int \frac{2z}{i(2z-1)} \frac{dz}{iz} = \int \frac{1}{z-\frac{1}{2}} \).
Potete dirmi se ho sbagliato qualcosa? Perche il risultato finale non mi viene. grazie
Ho provato a farlo ponendo \(\displaystyle z(t) = 2exp(it) \).
Ottengo allora \(\displaystyle \int \frac{4cos^2t + 4sen^2t}{2cost + 2isent - 1}(2icost - 2sent)dt \) che diventa poi \(\displaystyle 4\int \frac{2icost - 2sent}{2cost + 2isent - 1}dt \).
A questo punto, essendo gli estremi di integrazione \(\displaystyle [0, 2\pi] \) ho trasformato l'integrale ponendo \(\displaystyle z = exp(i\theta) \) allora \(\displaystyle sent = \frac{z - \frac{1}{z}}{2i}, cost = \frac{z + \frac{1}{z}}{2}, dt = \frac{dz}{iz} \).
Allora ottengo \(\displaystyle -\int \frac{2z}{i(2z-1)} \frac{dz}{iz} = \int \frac{1}{z-\frac{1}{2}} \).
Potete dirmi se ho sbagliato qualcosa? Perche il risultato finale non mi viene. grazie
Risposte
Se \(z\) si muove sulla circonferenza indicata, hai necessariamente \(|z|=2\) ossia \(|z|^2=4\) ed il tuo integrale curvilineo si riduce a:
\[
4\ \intop_{+\partial D(0;2)} \frac{1}{z-1}\ \text{d} z
\]
senza fare alcun passaggio.
Tale integrale si calcola col metodo dei residui... Anche se in realtà non ce n'è bisogno, perché esso è evidentemente uguale a \(8\pi\imath \).
\[
4\ \intop_{+\partial D(0;2)} \frac{1}{z-1}\ \text{d} z
\]
senza fare alcun passaggio.
Tale integrale si calcola col metodo dei residui... Anche se in realtà non ce n'è bisogno, perché esso è evidentemente uguale a \(8\pi\imath \).
Ora ho capito grazie mi mancava quest'ultimo pezzo per riuscire a fare l'esercizio che avevo postato l'altra volta
mi mancava quest'ultimo pezzo per riuscire a fare l'esercizio che avevo postato l'altra volta
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