Funzione non integrabile in senso generalizzato

[Sk_Anonymous]

Quale tra le seguenti non è integrabile in senso generalizzato tra 3 e $+oo$:

1) [tex]\frac{sin(|x|)} {(1+x^2)}$[/tex]
2)[tex]\frac{1}{x ln(x)}[/tex]
3) [tex]\frac{1}{x^2 ln(x) +1}[/tex]
4) [tex]\frac{2 \sqrt(x)}{sin(x) - x^3}[/tex]

Lavoriamo sulla 2:

[tex]\int_3^{w} {\frac{1}{x ln(x)}} = [ln(ln(x))]_{3}^{w} = ln(\frac{ln(w)}{ln(3)})[/tex]

Ovvero
[tex]\lim_{w \to +\infty} ln(\frac{ln(w)}{ln(3)}) = + \infty[/tex]

E quindi la risposta giusta è la 2.

Ecco la mia domanda: in presenza di un esercizio di questo tipo, voi come lo risolvereste? Fareste i calcoli per ogni possibile opzione, o magari con qualche particolare osservazione arrivereste ad escludere qualche risposta o, addirittura, a trovare subito quella giusta? In questo caso, quali osservazioni fareste?

[Seneca1]

Solitamente si fanno considerazioni qualitative...

Conosci il teorema del confronto per gli integrali impropri?

[Sk_Anonymous]

Si, la versione che conosco è questa:

Siano [tex]f,g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}[/tex] continue. Se [tex]0 \le f(x) \le g(x)[/tex] in [tex][a, +\infty)[/tex] allora se g è integrabile, lo è anche f, se f non è integrabile, non lo è neanche g.

[Seneca1]

"raffamaiden":Si, la versione che conosco è questa:

Siano [tex]f,g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}[/tex] continue. Se [tex]0 \le f(x) \le g(x)[/tex] in [tex][a, +\infty)[/tex] allora se g è integrabile, lo è anche f, se f non è integrabile, non lo è neanche g.

Allora, per esercizio, con l'ausilio del criterio che hai scritto, prova a dimostrare la convergenza (o esistenza) degli altri integrali del quesito che hai postato.