Funzione non dervabile in un punto

[gemini.931]

salve,
qualcuno sa darmi delle delucidazioni su come calcolare se una funzione è derivabile
ad esempio
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \)

avendo derivata prima

\(\displaystyle f'(x)= \) \(\displaystyle 1 \over 2 \sqrt{x+1} \) \(\displaystyle - \) \(\displaystyle 1 \over 2 \sqrt{x} \)

\(\displaystyle f'(x)= \) \(\displaystyle 1 \over 4 \sqrt{x^2+x} \)
se faccio il limite che tende a 0 della derivata prima il risultato è - infinito, quindi non è derivabile in quel punto
perchè si fa il limite della derivata prima proprio in 0? lo capisco dagli estremi del dominio?
se invece volessi fare il limite del rapporto incrementale sulla funzione f(x) come dovrei procedere?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Trascurando il fatto che

$f'(x)=1/(2sqrt(x+1))-1/(2sqrt(x))!=1/(4sqrt(x^2+x))$

chiaramente non puoi calcolare tale espressione in $0$, ma puoi calcolare il limite per $x to 0^+$ (non per $x to 0$, visto che il limite sinistro della derivata prima non può esistere), col risultato che il limite tende a $-oo$.
Questo significa che se $x$ si avvicina al punto $0$ (solo provenendo dall'intorno destro dello zero), la tangente alla curva tenderà a "verticalizzarsi".

Il più grande dominio della funzione originale $f(x)=sqrt(x+1)-sqrt(x)$, cioè il campo di esistenza, è dato da
$D=[0,+oo)$

mentre il dominio della derivata prima è dato dalla parte interna di $D$, data dall'intervallo aperto
$D°=(0,+oo)$.

Il limite del rapporto incrementale che dovrebbe definire la derivata prima (destra) della funzione $f(x)$ nel punto $0$, si dovrebbe impostare in questo modo:

$lim_{h to 0^+} (f(0+h)-f(0))/h$

Non so se sono stato d'aiuto, ma spero di si.

Saluti.