Funzione monotona in una delle due variabili

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Mi imbatto in un altro ostacolo nella mia lettura dei Fondamenti della Geometria. Hilbert parla, nel capitolo 4, di una funzione continua \(\Delta(s,t)\) che direi, usando quel pochino di matematica che so e un pizzico di filologia, essere $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$. So che, fissato $s$, essa è strettamente crescente in $t$.
Hilbert spiega come, fissato $t$, essa è strettamente monotona in $s$ perché \(\Delta(-,t):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è biunivoca; d'altra parte, per $t=0$, si sa che \(\Delta(s,0)=s\) e quindi \(\Delta(-,0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è, banalmente, strettamente crescente. Quindi si deduce che per ogni $t$ la funzione \(\Delta(-,t):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è strettamente crescente.
Quest'ultimo passaggio mi è oscuro.
Forse vale, dati due $t_1, t_2\in\mathbb{R}$, che, se \(\Delta(-,t_1):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) fosse strettamente crescente e \(\Delta(-,t_2 ):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) strettamente decrescente, dovrebbe esistere un $t_3$ tale che \(\Delta(-,t_3):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) non sarebbe strettamente monotona (e quindi si avrebbe una contraddizione)?
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà ad accendere una candela!!!