Funzione moltiplicata laplaciano Funzione
Confesso che sono molto confuso, il mio problema è questo
\(\displaystyle \int_A\left[ \left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^2 +\psi\nabla^2\psi \right]dA= \int_A \left[\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^2 \right]dA\)
In definitiva $\psi\nabla^2\psi$ sparisce perché è identicamente nullo? E se è così perché?
\(\displaystyle \int_A\left[ \left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^2 +\psi\nabla^2\psi \right]dA= \int_A \left[\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^2 \right]dA\)
In definitiva $\psi\nabla^2\psi$ sparisce perché è identicamente nullo? E se è così perché?
Risposte
Dovresti dire qualcosa di più sui simboli utilizzati... Chi sono \(\psi\) e \(A\)? Che proprietà hanno?
Giusto, $A$ rappresenta l'area della sezione, mentre $\psi$ è una funzione del tipo$\psi=psi(y,z)$ che in linea di massima non è dato conoscere, ma rappresenta l'ingobbamento della sezione di area $A$.
Mmm... Senza altri vincoli o condizioni al bordo non saprei dire...
Ho controllato sul testo e si sa anche che $\psi$ è la soluzione del problema $\nabla^2\psi=0$ in $A$ e $\frac{\partial \psi}{\partial n}=zn_y-y_n_z$ su $\Gamma$ che è il bordo della sezione e $n$ la normale al bordo.
"schwarz89it":
In definitiva $\int_A \psi\nabla^2\psi$ sparisce perché è identicamente nullo? E se è così perché?
... e si sa anche che $ \psi $ è la soluzione del problema $ \nabla^2\psi=0 $ in $ A $...
Mi sto davvero sforzando di capire se ti meriti un sacco di insulti in stile Gordon Ramsay o se c'è qualcosa che mi sfugge.
La prima è plausibile visto che parrebbe che tu abbia capito qual è il busillis, ma io non riesco a capire cosa mi sto perdendo per strada.
Se mi dici che \(\Delta \psi = 0\) in \(A\), questa è una relazione puntuale in \(A\). Ne segue che anche se lo moltiplico per qualcosa, poco cambierà: \(\psi \Delta \psi = \psi \cdot 0 = 0\) [surprise, surprise] sempre in ogni punto di \(A\).
(*) Se adesso prendo una cosa che vale \(0\) in \(A\) e la integro in \(A\), non ci sono molti possibili risultati.
(*) Che poi, io ho spezzato l'integrale in una somma di integrali per comodità; alternativamente si può cancellare il termine dall'integranda e si arriva sempre alla stessa conclusione.
(*) Se adesso prendo una cosa che vale \(0\) in \(A\) e la integro in \(A\), non ci sono molti possibili risultati.
(*) Che poi, io ho spezzato l'integrale in una somma di integrali per comodità; alternativamente si può cancellare il termine dall'integranda e si arriva sempre alla stessa conclusione.
Ora mi è chiaro, in effetti dopo che ti viene spiegato è davvero semplice. Gentilissimo.
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