Funzione misurabile: limite di funzioni assumenti finiti valori?
Sia $f:X\to\mathbb{R}$ una funzione misurabile definita su uno spazio di misura.
Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin dimostra che tale funzione è il limite di una successione \(\{f_n\}\) uniformemente convergente di funzioni semplici, nel senso che assumono un quantità numerabile di valori. Infatti basta prendere $f_n(x)=m/n$ se $m/n\le f(x) <(m+1)/n$.
Mi chiedevo: è possibile scegliere invece una successione di funzioni misurabili \(\{\phi_n\}\), convergente anche solo puntualmente a $f$, ma tale che le \(\phi_n\) assumano solo una quantità finita di valori?
$\infty$ grazie a tutti!
Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin dimostra che tale funzione è il limite di una successione \(\{f_n\}\) uniformemente convergente di funzioni semplici, nel senso che assumono un quantità numerabile di valori. Infatti basta prendere $f_n(x)=m/n$ se $m/n\le f(x) <(m+1)/n$.
Mi chiedevo: è possibile scegliere invece una successione di funzioni misurabili \(\{\phi_n\}\), convergente anche solo puntualmente a $f$, ma tale che le \(\phi_n\) assumano solo una quantità finita di valori?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Certo. Ti basta fare lo stesso ragionamento ma fermarti, per ogni n, ad uno specifico M (ad esempio +/- n^2).
Per funzioni positive, l'approssimazione che cerchi è costruita sul Rudin, Analisi Reale e Complessa, § 1.17 (in cui si vede che la successione approssimante può essere scelta anche crescente, oltre che convergente puntualmente).
Per funzioni con segno arbitrario, puoi limitarti a notare che l'approssimazione può essere fatta per la parte positiva e quella negativa.
Per funzioni con segno arbitrario, puoi limitarti a notare che l'approssimazione può essere fatta per la parte positiva e quella negativa.
Grazie a tutti e due, ragazzi!
Oltretutto confrontando il Rudin al Kolmogorov-Fomin, il primo a me sembra tanto più chiaro nelle dimostrazioni, che trovo più dettagliate... Per esempio qui fa notare che $k=k_n(t)$ è unico, cosa indispensabile alla definizione di \(\varphi_n\) o è un'impressione dovuta ad una mia esperienza troppo frammentaria del Rudin?
Oltretutto confrontando il Rudin al Kolmogorov-Fomin, il primo a me sembra tanto più chiaro nelle dimostrazioni, che trovo più dettagliate... Per esempio qui fa notare che $k=k_n(t)$ è unico, cosa indispensabile alla definizione di \(\varphi_n\) o è un'impressione dovuta ad una mia esperienza troppo frammentaria del Rudin?
Il Rudin è molto più tosto del Kolmogorov-Fomin.
Anche in russo? 
Io ce l'ho in francese... 
"gugo82":
Il Rudin è molto più tosto del Kolmogorov-Fomin.
In che senso tosto? Il Kolmogorov-Fomin, lo trovo tosto perché:
- non è sempre chiaro il contenuto degli enunciati. Per esempio campi degli scalari, domini e codomini sono non di rado lasciati sottintesi (che nostalgia della scrittura $f:X\to Y$ ...), ad esempio si definiscono operatori lineari $A$ su generiche varietà lineari $D_A\subset E$ di uno spazio topologico vettoriale $E$ e poi si presentano teoremi nella cui dimostrazione si sottintende che il dominio di $A$ sia tutto $E$ senza averlo neanche precisato nell'enunciato.
- la terminologia non è sempre univoca. Punto limite può essere usato a significare cose decisamente diverse.
- si nota l'utilizzo di fatti niente affatto banali senza averli dimostrati, o neanche enunciati, come il concetto di precompattezza sequenziale e i rapporti di implicazione che vigono tra tipi diversi di precompattezza (precompattezza \(\Rightarrow\) precompattezza numerabile \(\Leftarrow\) precompattezza sequenziale).
- capita che un teorema venga dimostrato sotto ipotesi restrittive non esplicitate nell'enunciato, al che il lettore può essere indotto a credere che valga solo sotto tali ipotesi, mentre poi lo si ritrova applicato nel seguito del libro con meno ipotesi restrittive. Non è per esempio raro che, nell'enunciato di un teorema, non si dica che campo degli scalari si prende in considerazione, può quindi capitare di notare nella dimostrazione che si usa $\mathbb{R}$, ma il teorema viene poi usato nel corso del libro per dimostrarne un altro utilizzandone una versione in cui il campo degli scalari è $\mathbb{C}$.
- la quantità di fatti enunciati senza dimostrazione e la presenza di frasi come è lasciata al lettore, si dimostra facilmente ed è facile dimostrare è per me altissima e nelle dimostrazioni passaggi cruciali sono sorvolati totalmente.
Il Rudin è anche peggio su tutto ciò?
Il Rudin è certamente più pulito... E però è fin troppo pulito.
Ad esempio, la dimostrazione del Teorema di Rappresentazione di Riesz (dei funzionali lineari continui su $C_c$) è lunga sei pagine; ma a scriverla bene, esplicitando tutti i passaggi, ce ne vogliono più del doppio.
In altri termini, come testo è molto sintetico.
Ad esempio, la dimostrazione del Teorema di Rappresentazione di Riesz (dei funzionali lineari continui su $C_c$) è lunga sei pagine; ma a scriverla bene, esplicitando tutti i passaggi, ce ne vogliono più del doppio.
In altri termini, come testo è molto sintetico.
Capito. Grazie di tutto!
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