Funzione misurabile: funzione caratteristica..
Ciao a tutti!! Ho un problema con questo esercizio.. Devo dimostrare che la funzione caratteristica
$chi_{{|f|>t}}(x)=\{(1 ,", se " |f(x)|>t), (0 , ", se " |f(x)|<=t):}$ è misurabile.
Come posso procedere?? Qual è l'idea?? uff...
$chi_{{|f|>t}}(x)=\{(1 ,", se " |f(x)|>t), (0 , ", se " |f(x)|<=t):}$ è misurabile.
Come posso procedere?? Qual è l'idea?? uff...
Risposte
Quand'è che una funzione caratteristica $chi_E$ è misurabile?
(Questo è pagina $0,5$ del Rudin... Insomma è una cosa base.)
La tua funzione di quale insieme è la funzione caratteristica? Tale insieme è sempre misurabile o la sua misurabilità dipende dalla scelta di $f$?
E la $f$ che proprietà deve avere affinché quell'insieme sia misurabile?
(Questo è pagina $0,5$ del Rudin... Insomma è una cosa base.)
La tua funzione di quale insieme è la funzione caratteristica? Tale insieme è sempre misurabile o la sua misurabilità dipende dalla scelta di $f$?
E la $f$ che proprietà deve avere affinché quell'insieme sia misurabile?
uhm.. allora.. la funzione caratteristica $X_{E}$ è misurabile se l'insieme $E$ è misurabile, giusto?
In questo caso il mio insieme è $E= {x: |f(x)|>t}$ Affinchè questo insieme sia misurabile dico una sciocchezza se dico che la f deve essere continua??
In questo caso il mio insieme è $E= {x: |f(x)|>t}$ Affinchè questo insieme sia misurabile dico una sciocchezza se dico che la f deve essere continua??
"dustofstar":
uhm.. allora.. la funzione caratteristica $X_{E}$ è misurabile se l'insieme $E$ è misurabile, giusto?
Esatto.
"dustofstar":
In questo caso il mio insieme è $E= {x: |f(x)|>t}$. Affinchè questo insieme sia misurabile dico una sciocchezza se dico che la f deve essere continua??
No, la continuità è certamente sufficiente alla misurabilità di ${|f|>t}$... Però è un po' troppo.
Infatti abbiamo ${|f|>t}= {f<-t} cup {f>t}$ e quindi per essere $E$ misurabile basta che siano misurabili entrambi gli insiemi ${f<-t}$ ed ${f>t}$.
Che proprietà deve avere la $f$ affinché un insieme del tipo ${f>t}$ sia misurabile?*
Nota che ${f>t}=f^(-1)(]t,+oo])$; questo ti ricorda nulla?
__________
* Ovviamente la risposta $f " continua"$ non vale, giacché siamo partiti dalla continuità e stiamo cercando di indebolire tale richiesta.
sarò fuori fase.. ma... uff.. la mia mente non riesce a illuminarsi..
Quando è che una funzione è detta misurabile?
Allora.. dati due spazi misurabili $(X, \sigma)$ e $(Y, \sigma')$, un' applicazione $f$ viene detta misurabile se la controimmagine di ogni elemento di $\sigma'$ è in $\sigma$ . Ossia, se $f^(-1)$ trasforma insiemi misurabili di $Y$ in insiemi misurabili di $X$. Quindi.. uhm.. poichè ${f>t}= f^(-1)[t,+\infty[ $ .. possiamo forse dire che..
$[t, +\infty$ è misurabile in quanto intersezione di insiemi numerabili del tipo $[t-1/n,+\infty$ allora $f^(-1)[t,+\infty$ è un insieme misurabile??
Sto dicendo stupidaggini??
$[t, +\infty$ è misurabile in quanto intersezione di insiemi numerabili del tipo $[t-1/n,+\infty$ allora $f^(-1)[t,+\infty$ è un insieme misurabile??
Sto dicendo stupidaggini??
Mmm... A me l'hanno insegnata in modo un po' diverso.
Se $(X,\ccM)$ è uno spazio misurabile e $(Y,tau)$ uno spazio topologico, allora $f:Xto Y$ è misurabile secondo Borel se l'antiimmagine mediante $f$ di ogni aperto $A\in tau$ è misurabile in $X$ (in altri termini $AA a\in tau, f^(-1)(A)\in \ccM$).
Ad ogni modo, no non stai dicendo fesserie, anzi vai forte! Cerchiamo di concludere, però.
Ora la tua $f$ va da $X$ in $RR$; le semirette $]t,+oo[$ sono misurabili secondo Lebesgue in $RR$ (infatti ogni tale semiretta è aperta, e tutti gli aperti sono misurabili).
Se la $f$ è misurabile, allora ${f>t}=f^(-1)(]t,+oo[)$ è, per la definizione di funzione misurabile che hai dato, misurabile in $X$.
Analogamente ${f< -t}=f^(-1)(]-oo,-t[)$ è misurabile in $X$ perchè $f$ è misurabile e perchè $]-oo,-t[$ è misurabile secondo Lebesgue in $RR$ (poiché aperto).
Dall'arbitrarietà di $t>=0$, consegue che se $f$ è misurabile allora per ogni $t>0$ l'insieme ${|f|>t}={f< -t}cup{f>t}$ è misurabile in $X$.
Da quanto appena detto e dalla proprietà della funzione caratteristica che hai detto prima, si ha
$f:Xto RR " è funzione misurabile " => AAt>0,\ {|f|>t} " è insieme misurabile in " X => AA t>0,\ chi_({|f|>t}):X to RR " è funzione misurabile"$
come volevi.
P.S.: Solo una piccola correzione al tuo post precedente. Stavamo considerando ${f>t}$ che è la controimmagine di $]t,+oo[$ e non di $[t,+oo[$.
Se $(X,\ccM)$ è uno spazio misurabile e $(Y,tau)$ uno spazio topologico, allora $f:Xto Y$ è misurabile secondo Borel se l'antiimmagine mediante $f$ di ogni aperto $A\in tau$ è misurabile in $X$ (in altri termini $AA a\in tau, f^(-1)(A)\in \ccM$).
Ad ogni modo, no non stai dicendo fesserie, anzi vai forte! Cerchiamo di concludere, però.
Ora la tua $f$ va da $X$ in $RR$; le semirette $]t,+oo[$ sono misurabili secondo Lebesgue in $RR$ (infatti ogni tale semiretta è aperta, e tutti gli aperti sono misurabili).
Se la $f$ è misurabile, allora ${f>t}=f^(-1)(]t,+oo[)$ è, per la definizione di funzione misurabile che hai dato, misurabile in $X$.
Analogamente ${f< -t}=f^(-1)(]-oo,-t[)$ è misurabile in $X$ perchè $f$ è misurabile e perchè $]-oo,-t[$ è misurabile secondo Lebesgue in $RR$ (poiché aperto).
Dall'arbitrarietà di $t>=0$, consegue che se $f$ è misurabile allora per ogni $t>0$ l'insieme ${|f|>t}={f< -t}cup{f>t}$ è misurabile in $X$.
Da quanto appena detto e dalla proprietà della funzione caratteristica che hai detto prima, si ha
$f:Xto RR " è funzione misurabile " => AAt>0,\ {|f|>t} " è insieme misurabile in " X => AA t>0,\ chi_({|f|>t}):X to RR " è funzione misurabile"$
come volevi.
P.S.: Solo una piccola correzione al tuo post precedente. Stavamo considerando ${f>t}$ che è la controimmagine di $]t,+oo[$ e non di $[t,+oo[$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo