Funzione logaritmica: dimostrazione di unica soluzione reale.

[PrInCeSs Of MuSiC]

Ciao a tutti, dopo tanto tempo ritorno a scrivere.
Ho bisogno di un piccolo aiuto con questo esercizio:
"Data la funzione

[math]f(x)=xln(1+x^2)[/math]

, dimostrare che l'equazione

[math]f(x)=1[/math]

ha un'unica soluzione reale."

Dunque è chiaro che come primo passaggio posso fare:

[math]1=xln(1+x^2)[/math]

[math]1=ln(1+x^2)^x[/math]

Da qui in poi, però, secondo tutti i procedimenti che ho fatto mi viene x = 0.. e la soluzione non va bene, perché rappresentando con Derive e Wolfram viene circa 1,20.

Mi illuminate, per favore?

Un saluto al mio amicone ciampax :) :*

[ciampax]

Ciao PoM. Allora, quando devi risolvere questo tipo di problemi, quello che ti consiglio di fare è, in pratica, uno studio di funzione: esso ti aiuta a capire l'andamento della stessa e comprendere se ci siano o meno intersezioni. Procediamo.

Considero la funzione

[math]F(x)=f(x)-1[/math]

: facendo questo, mi riconduco a voler dimostrare che

[math]F(x)=0[/math]

ammette una sola soluzione.

Per prima cosa osservo che il dominio della funzione è

[math]D=\mathbb{R}[/math]

. Calcolo allora i limiti:

[math]\lim_{x\to\pm\infty} F(x)=\pm\infty[/math]

.

(potrei eventualmente verificare se ci sia un asintoto obliquo, ma per l'uso che ne devo fare qui non è necessario). Passiamo alle derivate:

[math]F'(x)=\ln(1+x^2)+x\frac{2x}{1+x^2}=\ln(1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}[/math]

Osservo che la funzione derivata è la somma di due termini: il secondo risulta sempre

[math]\ge 0[/math]

. Per il primo, dal momento che

[math]1+x^2\ge 1[/math]

posso concludere che

[math]\ln(1+x^2)\ge 0[/math]

. Pertanto essendo la derivata somma di due quantità non negative, posso affermare che

[math]F'(x)\ge 0[/math]

.

Ne deduco allora che la funzione

[math]F(x)[/math]

risulta sempre crescente sul dominio: pertanto il suo grafico intersecherà solo una volta l'asse delle ascisse per il Teorema di esistenza degli zeri per funzione monotone.

Spero sia chiaro.

P.S.: ma cosa stai studiando e dove?

[PrInCeSs Of MuSiC]

Quindi in realtà devo fare un "mini" studio di funzione.. grazie, tutto chiaro! Proverò a fare altri esercizi di questo genere :)
Informatica a Camerino :) Ho già fatto i primi esami e lunedì ho sverginato il libretto con il primo trenta :D