Funzione logaritmica
Salve, ho la seguente funzione logaritmica: $f(x)=(log2x+1)/x$. L'insieme di esistenza è: $ I.E.=]-1/2;0[uu ]0;+infty [$ . Adesso voglio trovare l'intersezione con l'asse delle $x$. Pongo la funzione uguale a 0: $log2x+1=0$. La domanda a questo punto è la seguente: quando ho un logaritmo come faccio a sapere qual è il suo argomento, cioè come faccio a sapere se devo o non devo considerare anche l'$1$ nell'argomento? Perché se considero l'$1$ ottengo $x=0$, mentre se non lo considero ottengo $1/(2e)$. Nel testo dell'esercizio non ci sono le parentesi tonde. Ovviamente cambierebbe anche il dominio. Esiste una regola generale per non individuare correttamente ogni volta l'argomento del logaritmo?
Risposte
Ma la funzione è questa $f(x)=\frac{\log(2x+1)}{x}$ o questa $f(x)=\frac{\log 2x+1}{x}$? Perché se è la seconda, il dominio è $D=(0,+\infty)$.
Se leggi bene la domanda che ho posto è proprio quella che mi stai facendo adesso tu? Cioè come faccio a capire qual è l'argomento di una funzione logaritmica quando nell'esercizio non ci sono le parentesi tonde che lo delimitano?
Dato che non ci sono parentesi, prenderei solo \(2x\) come argomento del logaritmo.
Perfetto, grazie.
In un altro esercizio, con funzione: $f(x)=ln((x^2-9)/(5+x))$ in fase di intersezione con l'asse $x$ pongo $f(x)=0$, cioè: $ln((x^2-9)/(5+x))=0$. Come si risolve quest'equazione logaritmica? è giusto fare questo passaggio: $(x^2-9)/(5+x)=1$? Se non si può spiegare mi potete cortesemente indicare una spiegazione sulla rete? Però per questo tipo di equazioni logaritmiche e non per cose difficili, grazie.
$ln((x^2-9)/(5+x))=0->{((x^2-9)/(5+x)>0), (5+x!=0), ((x^2-9)/(5+x)=1):}$
"Francobati":
Se leggi bene la domanda che ho posto è proprio quella che mi stai facendo adesso tu? Cioè come faccio a capire qual è l'argomento di una funzione logaritmica quando nell'esercizio non ci sono le parentesi tonde che lo delimitano?
Il senso della mia domanda era proprio questo: da come avevi scritto la funzione, a me sembrava corretta la seconda forma. Il fatto che tu fossi dubbioso mi ha fatto pensare a due cose: 1) avevi dimenticato di scrivere le parentesi; 2) non sai "guardare" come si comportano gli argomenti. Pensavo che scrivendoti la domanda in questo modo ti saresti reso conto da te di quale fosse l'interpretazione corretta. Si vede che mi sbagliavo.
"Francobati":
In un altro esercizio, con funzione: $ f(x)=ln((x^2-9)/(5+x)) $ in fase di intersezione con l'asse $ x $ pongo $ f(x)=0 $, cioè: $ ln((x^2-9)/(5+x))=0 $. Come si risolve quest'equazione logaritmica? è giusto fare questo passaggio: $ (x^2-9)/(5+x)=1 $?
Innanzitutto, devi determinare il dominio della tua funzione, cosa che credo tu abbia già fatto.
Poi, per risolvere l'equazione logaritmica, il passaggio è lecito e ti fornisce un'equazione razionale la quale si risolve nel solito modo (che tutti gli studenti delle secondarie avrebbero dovuto vedere almeno una volta nella vita...); fatto ciò, tra i risultati ottenuti vanno presi in considerazione unicamente quelli che cadono nel dominio della funzione.
"Francobati":
Se non si può spiegare mi potete cortesemente indicare una spiegazione sulla rete?
Lascia perdere "la rete"; un buon libro delle superiori è quello che ti ci vuole.
"Francobati":
Però per questo tipo di equazioni logaritmiche e non per cose difficili, grazie.
Lasciamo stare quest'ultimo periodo, va...
Non sono un matematico, sono troppo scarso e su questo non ci piove!! Però non è che non la so risolvere, è che tutte le volte che trovo il delta con i radicali entro in panico e metto in discussione tutto il resto. Grazie per le spiegazioni.
Prego... E ripeto:
perché, insomma, è davvero assurdo che chiunque abbia frequentato una scuola secondaria "metta in discussione tutto" quando ha davanti agli occhi un'equazione di secondo grado.
"gugo82":
un buon libro delle superiori è quello che ti ci vuole.
perché, insomma, è davvero assurdo che chiunque abbia frequentato una scuola secondaria "metta in discussione tutto" quando ha davanti agli occhi un'equazione di secondo grado.
Come si risolve questa: $e^(x+1)-x+3>0$??
Teorema di esistenza degli zeri, oppure per via grafica. Comunque non sperare di trovare una soluzione esatta.
La disequazione non è risolvibile in maniera analitica ma grafica in modo approssimato.
Riscrivi così : $e^(x+1) > x-3 $ avendo separato la parte esponenziale da quella lineare.
Sullo stesso grafico fai il disegno delle due funzioni $y_1 = e^(x+1) ; y_2= x-3 $.Si tratta di vedere se e per quali valori di $ x$ la prima funzione sta sopra la seconda.
La prima ( sempre $>0 $ ) interseca l'asse delle ordinate nel punto A di ordinata $ 1 $ , ed è sempre crescente in quanto la sua derivata vale $y_1 '= e^(x+1) >0 $ sempre . In A la pendenza della funzione è $e $ ed aumenta sempre al crescere di $x$.
La seconda funzione $y_2 $ rappresenta una retta che taglia l'asse delle ordinate in B -di ordinata $= -3$ e taglia l'asse delle ascisse in C di ascissa $=3$.La pendenza della retta è pari a 1.
Per $ x< 0 $ la $y_1$ ( sempre positiva) sta sopra la $y_2 $ che è invece negativa .Quindi per $x< 0 $ la disequazione è verificata.
Per $x=0 $ la $y_1 $ vale $e $ mentre la $y_2 $ vale $-3$ e quindi $y_1 > y_2 $ ; per $x>0 $ infine la prima funzione cresce con rapidità maggiore della seconda e quindi sempre vale $y_1 > y_2 $.
In conclusione la disequazione è verificata per qualòunque valore di $x $ .
Riscrivi così : $e^(x+1) > x-3 $ avendo separato la parte esponenziale da quella lineare.
Sullo stesso grafico fai il disegno delle due funzioni $y_1 = e^(x+1) ; y_2= x-3 $.Si tratta di vedere se e per quali valori di $ x$ la prima funzione sta sopra la seconda.
La prima ( sempre $>0 $ ) interseca l'asse delle ordinate nel punto A di ordinata $ 1 $ , ed è sempre crescente in quanto la sua derivata vale $y_1 '= e^(x+1) >0 $ sempre . In A la pendenza della funzione è $e $ ed aumenta sempre al crescere di $x$.
La seconda funzione $y_2 $ rappresenta una retta che taglia l'asse delle ordinate in B -di ordinata $= -3$ e taglia l'asse delle ascisse in C di ascissa $=3$.La pendenza della retta è pari a 1.
Per $ x< 0 $ la $y_1$ ( sempre positiva) sta sopra la $y_2 $ che è invece negativa .Quindi per $x< 0 $ la disequazione è verificata.
Per $x=0 $ la $y_1 $ vale $e $ mentre la $y_2 $ vale $-3$ e quindi $y_1 > y_2 $ ; per $x>0 $ infine la prima funzione cresce con rapidità maggiore della seconda e quindi sempre vale $y_1 > y_2 $.
In conclusione la disequazione è verificata per qualòunque valore di $x $ .
Oppure...
La funzione \(f(x) :=e^{x+1}\) è strettamente convessa ed ha come tangente nel punto di ascissa \(-1\) la retta d'equazione \(y=x+1\); conseguentemente, per ogni \(x\) reale si ha:
\[
f(x) \geq x+1 >x-3
\]
e dunque \(e^{x+1}-x+3>0\) sempre.
La funzione \(f(x) :=e^{x+1}\) è strettamente convessa ed ha come tangente nel punto di ascissa \(-1\) la retta d'equazione \(y=x+1\); conseguentemente, per ogni \(x\) reale si ha:
\[
f(x) \geq x+1 >x-3
\]
e dunque \(e^{x+1}-x+3>0\) sempre.
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