Funzione liscia

[albertobosia]

scusate, ho una domanda un po' generale
quali sono gli strumenti per dimostrare che una certa funzione è liscia?
se io ho un insieme di punti (che possono essere i fattoriali) come faccio a dimostrare che ci sia una funzione liscia che assuma quei valori? e per dimostrare che sia unica?

ad esempio, esiste una (unica) funzione liscia per cui valgono \(f(1)=2\) e \(f(n)=n!\ \forall n>1\) ?

[Rigel1]

Per "liscia" intendi $C^{\infty}$ o analitica?

[albertobosia]

\(C^\infty(\mathbb R)\).
e se volessi analitica?

[DMNQ]

ad esempio, esiste una (unica) funzione liscia per cui valgono \(f(1)=2\) e \(f(n)=n!\ \forall n>1\) ?

Buongiorno ;
Non sono convinto dall'unicità della funzione $ f $ .
Infatti , pensavo alla funzione analitica $\phi : RR -> RR $ definita per $ \phi (x ) = \prod_{k=1}^{+ infty} ( 1- x/k) exp(x/k) $
e per cui $ \phi(n)=0 $ $ \forall n >=1 $ .
Se ponessi $ g = f + \phi $ allora avrei $ g(1)=2 $ e $ g(n)=n! $ $ \forall n>1 $
Che cosa ne pensate ?

[Rigel1]

Per avere unicità, anche nella funzioni analitiche, occorre richiedere che l'insieme assegnato di punti abbia un punto di accumulazione.

[albertobosia]

grazie rigel per la risposta, supponevo che fosse qualcosa del genere, ma in generale non capisco. ad esempio per la gamma, perché è l'unica liscia che passa per i fattoriali? se intendi che \(\mathbb N\) accumula a \(+\infty\), allora lo stesso ragionamento dovrebbe assicurarci che esiste una sola funzione tale che \(f(1)=2\) e \(f(n)=n!\ \forall n>1\).

"DMNQ":pensavo alla funzione analitica $\phi : RR -> RR $ definita per $ \phi (x ) = \prod_{k=1}^{+ infty} ( 1- x/k) exp(x/k) $
e per cui $ \phi(n)=0 $ $ \forall n >=1 $ .
Se ponessi $ g = f + \phi $ allora avrei $ g(1)=2 $ e $ g(n)=n! $ $ \forall n>1 $
Che cosa ne pensate ?

non sono abituato a lavorare con prodotti infiniti. posso chiederti da dove l'hai tirata fuori quella \(\phi\)? cioè, sì, ho capito che hai messo qualcosa che andasse a 0 sugli interi ma come si dimostra che \(\phi\) e \(f+\phi\) sono analitiche?

sono domande cui probabilmente spettano risposte piuttosto banali, ma sono ancora al primo... per caso sapreste indicarmi dei libri/corsi che spieghino questi argomenti?

[dissonance]

"albertobosia":la gamma, perché è l'unica liscia che passa per i fattoriali?

Ma questo è falso. C'è una infinità di funzioni lisce che passano per i punti \((n, n!)\). La gamma è l'unica funzione log-convessa che passa per \((n, n!)\), se proprio vogliamo trovare una caratterizzazione simile.

[Rigel1]

Prescrivere i valori sui soli numeri naturali non può selezionare univocamente una funzione analitica.
Aldilà dell'esempio già fatto, la funzione $f(x) = \sin(2\pi x)$ si annulla su tutti gli interi ed è analitica.
La funzione $\Gamma$ viene prima definita sul semiasse reale positivo (o sui numeri complessi con parte reale positiva) attraverso la nota formula integrale, e poi estesa per prolungamento analitico (che a quel punto è unico).

[albertobosia]

cavolo, mi pareva di aver letto su wikipedia tempo fa che fosse l'unica liscia...
effettivamente non trovo alcun riferimento, scusate.

[DMNQ]

ad esempio, esiste una funzione liscia per cui valgono \(f(1)=2\) e \(f(n)=n!\ \forall n>1\) ?

Un piccolo punto di più :
La funzione $ f $ data sotto la forma $ f(x) = \Gamma (x+1) + exp( 1-\gamma)\ prod_{k=2}^{+ infty} ( 1- x/k) exp(x/k) $
quando $ x > -1 $ e con $ \gamma = $ costante di Euler, verifica le condizioni richieste cioè \(f(1)=2\) e \(f(n)=n!\ \forall n>1\) .