Funzione lipschitziana e norme equivalenti
Sia $f:RR^n->RR$ una funzione qualsiasi.
Si dice che $f$ è lipschitziana se esiste una costante $L \ge 0$ tale che $||f(x)-f(y)|| \le L ||x-y||$ $AA x,y \in RR^n$.
Ma rispetto a quale norma?
Posso scegliere indifferentemente ad esempio la norma 1 o la norma 2 (euclidea) o la norma $oo$ perchè tanto, essendo queste norme equivalenti, se $f$ è lipschitziana rispetto ad una norma allora è lipschitziana anche rispetto alle altre?
Si dice che $f$ è lipschitziana se esiste una costante $L \ge 0$ tale che $||f(x)-f(y)|| \le L ||x-y||$ $AA x,y \in RR^n$.
Ma rispetto a quale norma?
Posso scegliere indifferentemente ad esempio la norma 1 o la norma 2 (euclidea) o la norma $oo$ perchè tanto, essendo queste norme equivalenti, se $f$ è lipschitziana rispetto ad una norma allora è lipschitziana anche rispetto alle altre?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Mi sa che ti sei dimenticato una $L$...
Mi sa che ti sei dimenticato una $L$...
Confermo, mi era sfuggita, grazie! 
Dovrebbe essere specificato rispetto a quale norma, comunque nel caso di $RR^n$ sono tutte equivalenti, il che porta a definizioni equivalenti di lipschitzianità.
Dunque una funzione è lipschitziana rispetto ad una norma in $RR^n$ se e solo se lo è rispetto a qualsiasi altra norma in $RR^n$...ma la costante di Lipschitz non è la stessa, giusto?
Si certo.
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