Funzione lipschitz
Ciao.
Sto studiando un'osservazione ma non capisco una cosa.
Nel teorema che precede l'osservazione si dimostra che una funzione $P:[0,T]\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ è una funzione lipschitziana nella seconda variabile $x$ cioè:
$\forall t\in[0,T]$ e $\forall x,y\geq0$ si ha che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$
Nell'osservazione mi dice che come conseguenza del teorema precedente si ha che la derivata parziale rispetto a $x$ di $P$ (nel senso delle distribuzioni) è localmente limitata cioè $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$.
Domanda 1)
Io so che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$ e per Lagrange $|P(t,x)-P(t,y)|=|P_x(t_0,x_0)||x-y|$
Quindi posso concludere che $|P_x(t_0,x_0)|\leq1$ e questo discorso lo posso ripetere $\forall x,y\geq0$.
La domanda che mi faccio è:
il fatto che $\forall t\in[0,T]$ e $\forall x,y\geq0$ si ha che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$ mi permette di dire che $|P_x(t_0,x_0)|\leq1$ $\forall(t_0, x_0)$ in modo da poter concludere che $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$?
Domanda 2)
Il fatto che $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$ non dovrebbe dirmi che la funzione $P_x(t,x)$ è limitata globalmente. Perché il libro specifica localmente?
Domanda 3)
Perché parla di derivata nel senso delle distribuzioni?
Sto studiando un'osservazione ma non capisco una cosa.
Nel teorema che precede l'osservazione si dimostra che una funzione $P:[0,T]\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ è una funzione lipschitziana nella seconda variabile $x$ cioè:
$\forall t\in[0,T]$ e $\forall x,y\geq0$ si ha che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$
Nell'osservazione mi dice che come conseguenza del teorema precedente si ha che la derivata parziale rispetto a $x$ di $P$ (nel senso delle distribuzioni) è localmente limitata cioè $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$.
Domanda 1)
Io so che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$ e per Lagrange $|P(t,x)-P(t,y)|=|P_x(t_0,x_0)||x-y|$
Quindi posso concludere che $|P_x(t_0,x_0)|\leq1$ e questo discorso lo posso ripetere $\forall x,y\geq0$.
La domanda che mi faccio è:
il fatto che $\forall t\in[0,T]$ e $\forall x,y\geq0$ si ha che $|P(t,x)-P(t,y)|\leq|x-y|$ mi permette di dire che $|P_x(t_0,x_0)|\leq1$ $\forall(t_0, x_0)$ in modo da poter concludere che $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$?
Domanda 2)
Il fatto che $||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$ non dovrebbe dirmi che la funzione $P_x(t,x)$ è limitata globalmente. Perché il libro specifica localmente?
Domanda 3)
Perché parla di derivata nel senso delle distribuzioni?
Risposte
1) A \(t\) fissato hai una funzione \(1\)-Lipschitziana; per il teorema di Rademacher, è dunque derivabile quasi ovunque con derivata in norma \(\leq 1\).
2) La funzione \(P_x\), per quanto detto, è limitata.
3) La funzione non è derivabile ovunque in senso classico (ma solo a.e.); se serve in una PDE, probabilmente l'autore preferisce considerare la derivata distribuzionale.
2) La funzione \(P_x\), per quanto detto, è limitata.
3) La funzione non è derivabile ovunque in senso classico (ma solo a.e.); se serve in una PDE, probabilmente l'autore preferisce considerare la derivata distribuzionale.
Ciao Rigel, non avevo mai sentito parlare di questo teorema.
Cercando su internet però ho trovato la versione del teorema in cui si dice che:
Se $f$ è una funzione localmente lipschitziana allora è differenziabile quasi ovunque.
quello che non mi è molto chiaro è:
1) differenziabile non mi implica che le derivate parziali esistono
2) Non riesco a trovare da nessuna parte il fatto che la norma della derivata parziale deve essere maggiorata dalla costante di lipschitz
3)Quindi quando parla di derivata nel senso delle distribuzioni intende quasi ovunque?
Grazie
Cercando su internet però ho trovato la versione del teorema in cui si dice che:
Se $f$ è una funzione localmente lipschitziana allora è differenziabile quasi ovunque.
quello che non mi è molto chiaro è:
1) differenziabile non mi implica che le derivate parziali esistono
2) Non riesco a trovare da nessuna parte il fatto che la norma della derivata parziale deve essere maggiorata dalla costante di lipschitz
3)Quindi quando parla di derivata nel senso delle distribuzioni intende quasi ovunque?
Grazie
"Monymate":
quello che non mi è molto chiaro è:
1) differenziabile non mi implica che le derivate parziali esistono
2) Non riesco a trovare da nessuna parte il fatto che la norma della derivata parziale deve essere maggiorata dalla costante di lipschitz
3)Quindi quando parla di derivata nel senso delle distribuzioni intende quasi ovunque?
1) Se una funzione è differenziabile in un punto, lì esistono anche tutte le derivate parziali (a parte che, nel tuo caso, la \(x\) è una variabile scalare).
2) Se \(|f(x) - f(y)| \leq K |x-y|\) per ogni \(x,y\), è chiaro che, dove \(f\) è derivabile, la sua derivata è in modulo \(\leq K\) (basta maggiorare il rapporto incrementale).
3) No, sono concetti differenti, ma per una funzione Lipschitziana la derivata distribuzionale è "rappresentata" dalla derivata puntuale (definita quasi ovunque).
Grazie Rigel.
Per quanto riguarda le derivate distribuzionali e le funzioni lipschitz adesso mi vado a vedere meglio l'argomento
Vediamo se ho capito il resto:
1) il teorema di Rademacher nel mio caso mi assicura che essendo la mia funzione $P(t,x)$ localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile (che è scalare) allora esiste la derivata parziale rispetto a $x$ della funzione $P$ quasi ovunque.
2) Dalla definizione di derivata parziale (con il rapporto incrementale) posso concludere che se la funzione $P(t,x)$ è Lipschitz rispetto alla variabile $x$ allora $||P_x||_{\infty}$ è maggiorata dalla costante di Lipschitz
E' giusto?
Per quanto riguarda le derivate distribuzionali e le funzioni lipschitz adesso mi vado a vedere meglio l'argomento
Vediamo se ho capito il resto:
1) il teorema di Rademacher nel mio caso mi assicura che essendo la mia funzione $P(t,x)$ localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile (che è scalare) allora esiste la derivata parziale rispetto a $x$ della funzione $P$ quasi ovunque.
2) Dalla definizione di derivata parziale (con il rapporto incrementale) posso concludere che se la funzione $P(t,x)$ è Lipschitz rispetto alla variabile $x$ allora $||P_x||_{\infty}$ è maggiorata dalla costante di Lipschitz
E' giusto?
Sì.
Scusa però ho un problema sull'altra variabile ora.
La stima che ho sull'altra variabile è la seguente:
$|P(t,x)-P(s,x)|\leqC|\sqrt{T-t}-\sqrt{T-s}|$
Quindi non è lipschitz in questo caso, come posso concludere che
$||P_t(t,.)||_{L^{\infty}([0,+\infty])}\leq\frac{C}{\sqrt{T-t}$
Grazie
La stima che ho sull'altra variabile è la seguente:
$|P(t,x)-P(s,x)|\leqC|\sqrt{T-t}-\sqrt{T-s}|$
Quindi non è lipschitz in questo caso, come posso concludere che
$||P_t(t,.)||_{L^{\infty}([0,+\infty])}\leq\frac{C}{\sqrt{T-t}$
Grazie
Se definisci \(\phi(t) := \sqrt{T-t}\), \(t\in [0,T]\), hai che
\[
\phi(t) - \phi(s) = \phi'(\xi) (t-s) = -\frac{1}{2\sqrt{T-\xi}}\, (t-s),
\]
con \(\xi\) opportuno punto fra \(s\) e \(t\).
Puoi dunque fare una stima del rapporto incrementale
\[
\left|\frac{P(t,x) - P(s,x)}{t-s}\right| \leq \frac{C}{2\sqrt{T-\xi}}\,.
\]
\[
\phi(t) - \phi(s) = \phi'(\xi) (t-s) = -\frac{1}{2\sqrt{T-\xi}}\, (t-s),
\]
con \(\xi\) opportuno punto fra \(s\) e \(t\).
Puoi dunque fare una stima del rapporto incrementale
\[
\left|\frac{P(t,x) - P(s,x)}{t-s}\right| \leq \frac{C}{2\sqrt{T-\xi}}\,.
\]
"Rigel":
Se definisci \(\phi(t) := \sqrt{T-t}\), \(t\in [0,T]\), hai che
\[
\phi(t) - \phi(s) = \phi'(\xi) (t-s) = -\frac{1}{2}{T-\xi}\, (t-s),
\]
con \(\xi\) opportuno punto fra \(s\) e \(t\).
Puoi dunque fare una stima del rapporto incrementale
\[
\left|\frac{P(t,x) - P(s,x)}{t-s}\right| \leq \frac{C}{2\sqrt{T-\xi}}\,.
\]
Mi chiedo due cose:
1) dall'uguaglianza che mi hai scritto posso dunque concludere che la funzione $P$ è lipschitz (localmente) anche rispetto alla variabile $t$. giusto?
2) Non dovrebbe essere $\phi'(\xi)= -\frac{1}{2\sqrt{T-\xi}}$?
Sì a entrambe le domande.
Ma allora $||P_t(t,.)||_{L^{\infty}([0,+\infty])}\leq\frac{C}{\sqrt{T-t}$ vale per $t\in[0,T)$ perché in $T$ ho dei problemi giusto?
Beh, per \(t\to T^-\) il secondo membro tende a \(+\infty\), quindi la stima non serve a molto.
Hai la Lipschitzianità sui compatti del tipo \([0,\tau]\) con \(\tau < T\).
Hai la Lipschitzianità sui compatti del tipo \([0,\tau]\) con \(\tau < T\).
ok, perfetto grazie mille!
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