Funzione lineare e funzione convessa
Salve,
Sto cercando di dimostrare che una funzione lineare è una funzione convessa.
Intanto vi chiedo se vale anche il contrario.
Comunque ho provato a fare queste operazioni:
Sto cercando di dimostrare che una funzione lineare è una funzione convessa.
Intanto vi chiedo se vale anche il contrario.
Comunque ho provato a fare queste operazioni:
[*:6b2i3fe0] In una funzione $f(z)$ convessa vale: $f(z) <= lambda f(x) + (1-lambda) f(y)$ con $lambda in [0, 1] $[/*:m:6b2i3fe0]
[*:6b2i3fe0] In una funzione lineare $f(z)$ vale: $ f(z + z') = f(z) + f(z') $ e $ f(kz) = k f(z) $ con $ k in R $.[/*:m:6b2i3fe0][/list:u:6b2i3fe0]
Allora ho pensato di considerare la funzione convessa $f(z) = lambda f(x) + (1-lambda) f(y)$ e dimostrare che è lineare così:
[*:6b2i3fe0] $f(z + z') = f( lambda f(x) + (1-lambda) f(y) + lambda f(x') + (1-lambda) f(y') ) = lambda f(x) + (1-lambda) f(y) + lambda f(x') + (1-lambda) f(y') = f(z) + f(z') $[/*:m:6b2i3fe0]
[*:6b2i3fe0] $ f(kz) = f( k cdot ( lambda f(x) + (1-lambda) f(y) ) ) = k f( lambda f(x) + (1-lambda) f(y) ) = k cdot f(z) $[/*:m:6b2i3fe0][/list:u:6b2i3fe0]
Mi potete dire se con queste operazioni dimostro che una funzione lineare è anche convessa?
Altrimenti come posso dimostrarlo? E il viceversa?
Grazie
Risposte
La definizione di funzione convessa non ha senso così come l'hai scritta tu. $f$ è convessa se
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
per ogni $\lambda\in [0,1]$ e ogni $x$ e $y$. La tua definizione va bene se poni $z=\lambda x+(1-\lambda)y$.
Una funzione lineare è convessa, e questo è sempre vero. Una funzione convessa non è però detto che sia lineare! Non ho letto il tuo ragionamento, ma basta pensare a $f(x)=x+1$ per rendersi conto che è una funzione convessa ma non lineare.
Per dimostrare che una funzione lineare è convessa, basta fare i seguenti passaggi (ricordati che stiamo supponendo che $f$ è lineare):
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big)=f(\lambda x)+f\big((1-\lambda)y\big)=\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
per ogni $\lambda\in [0,1]$ e per ogni $x$ e $y$. Dunque è verificato che
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
e pertanto $f$ è lineare.
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
per ogni $\lambda\in [0,1]$ e ogni $x$ e $y$. La tua definizione va bene se poni $z=\lambda x+(1-\lambda)y$.
Una funzione lineare è convessa, e questo è sempre vero. Una funzione convessa non è però detto che sia lineare! Non ho letto il tuo ragionamento, ma basta pensare a $f(x)=x+1$ per rendersi conto che è una funzione convessa ma non lineare.
Per dimostrare che una funzione lineare è convessa, basta fare i seguenti passaggi (ricordati che stiamo supponendo che $f$ è lineare):
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big)=f(\lambda x)+f\big((1-\lambda)y\big)=\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
per ogni $\lambda\in [0,1]$ e per ogni $x$ e $y$. Dunque è verificato che
\[
f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
\]
e pertanto $f$ è lineare.
Ah perfetto ho capito grazie
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