Funzione limitata

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, devo risolvere questo esercizio:

$f(x) = tgx + log(tgx)$

'' Dire se la funzione f è limitata ''


Ora, esattamente cosa devo fare? Ho cercato su Wiki il termine di funzione limitata, ma mi è poco chiaro:

In matematica, una funzione f definita su un insieme arbitrario X e con valori reali o complessi si dice limitata se la sua immagine corrisponde ad un insieme limitato, vale a dire che esistono valori a e b tali che, per ogni valore di x per cui la funzione è definita, $a < f(x) < b$.
Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero positivo $R > 0$ tale che

$|f(x)|
per ogni x in X.
Nel caso specifico di una funzione reale, una funzione è limitata se può assumere solo valori compresi in un intervallo. Sempre per le funzioni reali, si indica come funzione limitata superiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore ad un dato valore e come funzione limitata inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere minore di un dato valore.

[Pierlu11]

Io studierei semplicemente i punti alla frontiera del dominio, tanto dove è definita assume un valore finito, gli unici poblemi sono eventuali asintoti verticali e a $ +oo $ e $ -oo $ ...

[Mr.Mazzarr]

Ovvero? I punti alla frontiera non rientrano nel mio programma, non li abbiamo studiati.

[Mr.Mazzarr]

Non posso semplicemente studiare la funzione a $pm oo$ e vedere se ammette max e min assoluti?

[Brancaleone1]

"Mr.Mazzarr":Non posso semplicemente studiare la funzione a $pm oo$ e vedere se ammette max e min assoluti?

No non basta, almeno per quanto riguarda il caso generale, perché se anche la funzione all'infinito assuma un valore finito ciò non implica che essa mantenga valori finiti "all'interno d'essa"... Guarda bene: hai un termine che è $tan(x)$: già questo dovrebbe farti capire

[Mr.Mazzarr]

Sì ma al di la della tangente, è il caso generale che mi è poco chiaro.
Dire che una funzione è limitata non c'entra nulla con i massimi e minimi assoluti?

[Pierlu11]

"Mr.Mazzarr":Ovvero? I punti alla frontiera non rientrano nel mio programma, non li abbiamo studiati.

Si tratta semplicemente di studiare a cosa tende la funzione nei punti che escludi dal dominio (detto in modo poco corretto)...
Forse non li hai chiamati punti di frontiera ma è improbabile che non hai fatto una cosa del genere...
Ti faccio un esempio:
$ f(x)=1/x $ ha per dominio $ ]-infty;0[uu]0;+infty[ $ e il punto da studiare (oltre agli estremi) è $ x_0=0 $...

[gugo82]

"Mr.Mazzarr":Sì ma al di la della tangente, è il caso generale che mi è poco chiaro.
Dire che una funzione è limitata non c'entra nulla con i massimi e minimi assoluti?

Certo che c'entra...

Che vuol dire graficamente che una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è limitata?
Beh, vuol dire che il grafico di \(f\) è tutto compreso in una striscia del piano \(Oxy\); in particolare se \(a\leq f(x)\leq b\) per ogni \(x\in X\), allora il grafico di \(f\) è tutto contenuto nella striscia orizzontale del piano delimitata dalle retta di equazione \(y=a\) ed \(y=b\), cioé nell'insieme \(\mathbb{R}\times [a,b]\subseteq \mathbb{R}^2\).[nota]Analogamente, dire che \(f\) è limitata superiormente [risp. inferiormente] significa graficamente che il suo grafico sta tutto sotto [risp. sopra] una retta orizzontale di equazione \(y=b\) [risp. y=a].[/nota]

Chiaramente, se \(f\) ha massimo e minimo assoluti, allora è \(\min f \leq f(x)\leq \max f\) ed il grafico di \(f\) è tutto complreso tra le rette di equazione \(y=\min f\) ed \(y=\max f\); quindi \(f\) è limitata.

D'altra parte, però, non tutte le funzioni limitate sono dotate di massimo o minimo assoluti.
Ad esempio la funzione \(f:]0,1[\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x):=x\) è limitata (lo puoi vedere dal grafico), ma non ha né massimo né minimo in \(]0,1[\).

***

Ad ogni modo, MrMazzarr, vorrei farti notare una cosa: stai, di nuovo, facendo esercizi così come vengono assegnati nei compiti scritti del tuo docente, senza rispettare alcun senso logico.
Questa cosa, per chi ha serie difficoltà di base, è deleteria, perché non consente di sedimentare i metodi che via via si apprendono per risolvere le questioni... In altre parole, facendo un esercizio sui numeri complessi e poi un esercizio sulle funzioni e poi un esercizio sugli integrali, e così in circolo, non fissi nessuno dei metodi che usi per le soluzioni.

Accetta dei consigli:

[*:ybupvut5] fottitene dei compiti del tuo docente: tu non devi pensare di prepararti per fare un compito, ma per colmare delle lacune di base;

[/*:m:ybupvut5]
[*:ybupvut5] prendi un eserciziario di base (penso al Marcellini-Sbordone, o agli eserciziari Tecnos) e mettiti a fare gli esercizi così come sono proposti, seguendo i suggerimenti e la teoria presentata all'inizio del paragrafo;

[/*:m:ybupvut5]
[*:ybupvut5] non abbandonare un argomento finché non ti senti davvero padrone delle nozioni e delle tecniche che hai appreso e riesci a risolvere un esercizio preso a caso da un altro testo o dai compiti di un altro docente (dato che quelli del tuo li hai rifatti già tutti, credo);

[/*:m:ybupvut5]
[*:ybupvut5] supera la scocciatura di dover ripetere molte volte le stesse cose: purtroppo i latini avevano ragione quando dicevano repetita iuvant (ripetere le cose aiuta).[/*:m:ybupvut5][/list:u:ybupvut5]

Preparare un esame così è estenuante, te lo dico da subito; ma è l'unico modo per riuscire.

Inoltre, non so se hai intenzione di sostenere l'esame a settembre, ma credo di sì.
Se va bene, bene (e sarei davvero contento per te).
Ma se non dovesse andare, prendi in seria considerazione l'idea di seguire di nuovo il corso di Analisi I quest'anno, dall'inizio alla fine, anche con un professore diverso dal tuo (basta che sia uno bravo), studiandoti le cose passo-passo.

[Mr.Mazzarr]

Rispondo alla seconda parte, quella dei tuoi consigli.

Il fatto è che la maggior parte degli esercizi mi vengono, la maggior parte della teoria la so, ma c'è sempre qualche lacuna qua e la che mi porto dietro. Una di queste riguarda questa parte dello studio della funzione o la parte riguardante i limiti dx e sx o limiti più complessi. Io ho l'esame esattamente fra 2 settimane, ma sarà un win or go home. Riaffrontare un corso di Analisi I dopo aver fatto già una volta mi deprime al solo pensiero, non perchè la materia non mi piaccia ma per il semplice fatto che inizierei seriamente a pensare di non essere portato per questa materia.

Perciò io faccio gli esercizi dai compiti della mia professoressa, perchè il tempo stringe e devo esercitarmi affiancandoci lo studio della teoria. Se riuscissi a colmare queste lacune che ho penso di potercela fare, senò fa niente e si cambia strada.

[Mr.Mazzarr]

Quindi, ricapitolando..

Se la funzione ammette massimi o minimi assoluti, di sicuro è limitata. E' una condizione sufficiente, ma non necessaria. Nel senso che una funzione può anche non avere massimi e minimi assoluti ma essere limitata. Ora, teoricamente ci sono, ma praticamente qual è il metodo per individuare la '' limitatezza '' di una funzione definita in un intervallo aperto?

Se studio il comportamento ai lati dell'intervallo e noto che tende ad infinito, posso dire che non è limitata, no?

[gugo82]

"Mr.Mazzarr":Se la funzione ammette massimi o minimi assoluti, di sicuro è limitata. E' una condizione sufficiente, ma non necessaria. Nel senso che una funzione può anche non avere massimi e minimi assoluti ma essere limitata. Ora, teoricamente ci sono [...]

Sì, ci sei.

"Mr.Mazzarr":ma praticamente qual è il metodo per individuare la '' limitatezza '' di una funzione definita in un intervallo aperto?

Visto che tutto consiste nel sapere se \(\inf f\) e \(\sup f\) sono finiti, a che la determinazione degli estremi si fa capendo come cresce e decresce una funzione, per studiare la limitatezza devi fare uno studio di funzione, almeno fino alla determinazione degli intervalli di monotonia.

"Mr.Mazzarr":Se studio il comportamento ai lati dell'intervallo e noto che tende ad infinito, posso dire che non è limitata, no?

Certo.

[Mr.Mazzarr]

Correggetemi se sbaglio per favore.

Supponiamo che il dominio della funzione è: $x in ]-oo, 2[ U ]5, +oo[$.
Oltre al limite a $pm oo$ devo anche fare il limite sinistro a $2$ e destro a $5$.

Per dire che è ammette max e min (e quindi è limitata), non deve risultare mai $oo$ il suo limite. In nessuno dei casi possibili. Perchè se risulta $+oo$ in qualche caso vuol dire che non c'è max assoluto. Viceversa per il min assoluto.

[gugo82]

Certo.

In generale, per escludere la limitatezza superiore [risp. inferiore] basta che il limite di \(f\) da un lato di un punto di discontinuità (che può anche essere un punto in cui la funzione è definita, eh!) sia \(+\infty\) [risp. \(-\infty\)].