Funzione limitata
L'esercizio mi chiede di dire se la funzione data è limitata o no:
$f(x) = 1/(1-senx) + log(1-senx)$
Il dominio della funzione dovrebbe essere $RR - {pi/2 + kpi}$
Ora, per sapere se la funzione è limitata, devo fare i limite a destra e sinistra del punto di discontinuità? Una qualsiasi funzione con un dominio simile l'avrei studiata al tendere di $x$ a $pm oo$, ma a $pm oo$ ha un valore '' particolare '' in quanto parliamo della funzione seno.
$f(x) = 1/(1-senx) + log(1-senx)$
Il dominio della funzione dovrebbe essere $RR - {pi/2 + kpi}$
Ora, per sapere se la funzione è limitata, devo fare i limite a destra e sinistra del punto di discontinuità? Una qualsiasi funzione con un dominio simile l'avrei studiata al tendere di $x$ a $pm oo$, ma a $pm oo$ ha un valore '' particolare '' in quanto parliamo della funzione seno.
Risposte
Perché non osservi che $f(x)$ è $2\pi$ periodica?
Limitati a studiarla in un intervallo di ampiezza $2\pi$. Ad esempio $[-\pi,\pi]$. E vedi un po che succede nel punto $\pi/2$
Limitati a studiarla in un intervallo di ampiezza $2\pi$. Ad esempio $[-\pi,\pi]$. E vedi un po che succede nel punto $\pi/2$
"Kashaman":
Perché non osservi che $f(x)$ è $2\pi$ periodica?
Sto un po' sbarellato, però mi ricordo che in un'altra discussione ho detto (a Mr Mazzarr) che le funzioni trigonometriche - oltre a essere particolarmente st... difficili (questo non l'ho detto l'altra volta!) - dovrebbero far accendere qualche campanello d'allarme che in genere è sempre lo stesso. Cioè:
- periodicità
- se c'è qualche punto in cui non sono definite (vale per la tangente, ma se metti un seno o un coseno al denominatore fa lo stesso!).
"Kashaman":
Limitati a studiarla in un intervallo di ampiezza $2\pi$. Ad esempio $[-\pi,\pi]$. E vedi un po che succede nel punto $\pi/2$
Oltre al fatto che straquoto, quando hai cose come $a-sin(x)$ (vale anche per il coseno, ovvio), se $|a|\le 1$ ci sarà uno zero da qualche parte e, dunque, se quell'affare è al denominatore...
Non ho capito come possa studiare il fatto che la funzione è periodica!
Cosa ne posso dedurre?
Cosa ne posso dedurre?
"Mr.Mazzarr":
Non ho capito come possa studiare il fatto che la funzione è periodica!
Cosa ne posso dedurre?
Che invece di studiarla in tutto $\RR$ puoi restringerti ad un intervallo pari al periodo come ha detto kashaman. Però la cosa importante è stare attenti alle funzioni trigonometriche - in genere limitate - ma che quando passano al denominatore... sono cavoli amari!
Sì, ho captato il discorso.
Però, per parlare della limitatezza della funzione, è corretto innanzitutto calcolare il limite nel punto di discontinuità?
Però, per parlare della limitatezza della funzione, è corretto innanzitutto calcolare il limite nel punto di discontinuità?
"Mr.Mazzarr":
Sì, ho captato il discorso.
Però, per parlare della limitatezza della funzione, è corretto innanzitutto calcolare il limite nel punto di discontinuità?
Oggi ho una risposta più bella di alcune che ho dato in qualche tuo post simile: si vede che il nervoso che ho nei confronti della segreteria studenti serve a qualcosa...
Comunque: iniziamo da questo teorema.
"Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è limitata."
Questo teorema dice 2 cose:
- se hai una funzione continua in $[a,b]$ è limitata
- se hai una funzione continua in $\RR$, se fai i limiti per $+- \infty$ e sono limitati ok, sennò la funzione non è limitata.
Per il secondo punto ti faccio due esempi.
La funzione $y=x^2$ non è limitata in $\RR$ perché se fai i limiti per $x->+- \infty$ ottieni $+\infty$.
La funzione $y=e^(-x^2)$ è limitata in $\RR$ perché se fai i limiti per $x->+- \infty$ ottieni 0 in entrambi i casi.
Ovviamente in qualsiasi $[a,b]$ entrambe le funzioni sono limitate (puoi fare la prova, a parte il teorema precedente).
Passiamo, ora, al caso in cui ci sono problematiche, cioè i punti di discontinuità, cioè al caso in cui la funzione "non è continua in tutti i punti del dominio".
Non valendo il teorema precedente, devi vedere, dunque, cosa accade in quei punti.
- Se il limite non esiste, ma la funzione è oscillante, è limitata (per es. $sin(1/x)$ per $x->0$): in questo caso ho qualche dubbio delle mie parole...
- Se almeno uno dei due limiti non è finito, la funzione è illimitata.
- Se c'è un salto, cioè se i limiti sono diversi ma finiti, la funzione è limitata.
Un discorso simile dovevo farlo nell'altro thread quando parlavi di massimi/minimi globali.
Spero di non aver sparato cavolate (solo su una frase, come detto, ho un dubbio!) e di aver chiarito qualche dubbio.
Ciao... and see you in the english corner
Innanzitutto grazie per la gran risposta.
Mi focalizzo su questa parte:
Da qui, ti espongo i miei dubbi:
- Se i limiti a $pm oo$ danno valori finiti mentre i limiti nel punto di discontinuità danno valori infiniti, cosa ne deduco?
- Se ho una funzione trigonometrica oscillante con x tendente a $pm oo$, faccio solo i limiti nei punti di discontinuità?
Mi focalizzo su questa parte:
Passiamo, ora, al caso in cui ci sono problematiche, cioè i punti di discontinuità, cioè al caso in cui la funzione "non è continua in tutti i punti del dominio".
Non valendo il teorema precedente, devi vedere, dunque, cosa accade in quei punti.
- Se il limite non esiste, ma la funzione è oscillante, è limitata (per es. $sin(1/x)$ per $x->0$): in questo caso ho qualche dubbio delle mie parole...
- Se almeno uno dei due limiti non è finito, la funzione è illimitata.
- Se c'è un salto, cioè se i limiti sono diversi ma finiti, la funzione è limitata.
Da qui, ti espongo i miei dubbi:
- Se i limiti a $pm oo$ danno valori finiti mentre i limiti nel punto di discontinuità danno valori infiniti, cosa ne deduco?
- Se ho una funzione trigonometrica oscillante con x tendente a $pm oo$, faccio solo i limiti nei punti di discontinuità?
"Mr.Mazzarr":
Da qui, ti espongo i miei dubbi:
- Se i limiti a $pm oo$ danno valori finiti mentre i limiti nel punto di discontinuità danno valori infiniti, cosa ne deduco?
- Se ho una funzione trigonometrica oscillante con x tendente a $pm oo$, faccio solo i limiti nei punti di discontinuità?
[size=85]Scusa, non avevo visto la tua risposta...[/size]
Per il punto 1, se la funzione a $+-\infty$ tende a valori finiti ma nelle discontinuità non è così, evidentemente non è limitata.
Per il punto 2, come ho detto in precedenza, ho qualche dubbio per quello che dico, ma se è oscillante è comunque limitata (se fai $sin(x)$ per $x->+\infty$, il limite non c'è ma hai pur sempre $sin(x)\in [-1,1]$), ma se "in mezzo" ha discontinuità nelle quali almeno da una parte tende a infinito, allora non è limitata.
Ah ecco, grazie Zero.
In fin dei conti, sono i punti di discontinuità che determinate principalmente la funzione, quando si parla di essere limitata o no.
In fin dei conti, sono i punti di discontinuità che determinate principalmente la funzione, quando si parla di essere limitata o no.
"Mr.Mazzarr":
Ah ecco, grazie Zero.
In fin dei conti, sono i punti di discontinuità che determinate principalmente la funzione, quando si parla di essere limitata o no.
Sì, oltre che però devi sempre considerare in partenza il comportamento all'infinito.
Ritornando un attimo sul discorso delle trigonometriche..
Considerando che all'infinito alcune funzioni come seno e coseno non si possono studiare, si taglia la testa al toro e si studia la funzione nei possibili punti di discontinuità?
Per aiutarmi a capire, mi diresti come ti comporti quando devi studiare se la funzione data è limitata:
$f(x) = log(sinx)$
Considerando che all'infinito alcune funzioni come seno e coseno non si possono studiare, si taglia la testa al toro e si studia la funzione nei possibili punti di discontinuità?
Per aiutarmi a capire, mi diresti come ti comporti quando devi studiare se la funzione data è limitata:
$f(x) = log(sinx)$
"Mr.Mazzarr":
Per aiutarmi a capire, mi diresti come ti comporti quando devi studiare se la funzione data è limitata:
$f(x) = log(sinx)$
Prima di tutto mi accorgo che è definita solo per $2k\pi < x < (2k+1)\pi$, $k\in \ZZ$.
E' periodica, quindi basta che vedo quello che accade in $0
In questo caso, senza che faccio uno studio completo, so che in $0
Conclusione...
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