Funzione L1

[SeccoJones]

Salve a tutti. Ho il seguente esercizio:
Determinare i valori di $alpha in R$ per i quali la funzione seguente ammette trasformata di Fuorier classica:
$f(x)=(e^(-5|x|) - e^(-7|x|))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha))$

Risolvo l' esercizio considerando $\int |f(x)| dx < +infty$, ovvero la funzione deve essre $L1$.

Per studiare la convergenza stimo asintoticamente la funzione.

Il dubbio nasce dal fatto che dovendo studiare $|f(x)|=\{ (f(x), f(x)>0), (-f(x), f(x) <0):}$

per studiare la funzione per $\to infty$ considero il seguente problema? Ovvero:

$+- (e^(-5x) - e^(-7x))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha)$ per $\xto +infty$ e

$+- (e^(+5x) - e^(+7x))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha)$ per $\xto -infty$

e stessa cosa per lo $0$? Ovvero:

$+- (e^(-5x) - e^(-7x))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha)$ per $\xto 0^(+)$ e

$+- (e^(+5x) - e^(+7x))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha)$ per $\xto 0^(-)$

È giusto operare in questo modo? Spero che qualcuno possa darmi indicazioni, grazie in anticipo.

[SeccoJones]

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[Antimius]

Osserva che, essendo $-5|x| > -7|x|$ hai che $e^{-5|x|} > e^{-7|x|}$ e perciò il numeratore è positivo. L'unica indeterminazione nasce quindi dalla $x$ al denominatore.
Il resto è corretto, quindi combinando le due osservazioni assieme, devi calcolare i limiti
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-5x}-e^{-7x}}{x(\log(1+x^2))^{\alpha}}$$
e $$\lim_{x \to -\infty} -\frac{e^{5x}-e^{7x}}{x(\log(1+x^2))^{\alpha}}$$
e analogamente per i limiti destro e sinistro in $0$

[SeccoJones]

Grazie mille per la risposta!

[Antimius]

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