Funzione (ipoteticamente) sempre continua ma mai derivabile

[.Ruben.17]

[tex]f(x) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{sin(n! x)}{n!}[/tex] può essere ritenuta (al pari della celebre Funzione di Weierstrass) un esempio di funzione continua in ogni punto del dominio e ma mai derivabile?
A me sembra proprio di sì, ma avrei bisogno di una conferma.
Inoltre, non riesco a identificare il comportamento della derivata della funzione quando x è un numero razionale. Infatti, in quei casi, da un determinato indice in poi, la successione dei termini è costante e vale 1: la serie per quei punti, dunque, diverge. Ma ciò necessariamente implica che in quei punti la derivata tenda a + infinito? E per gli irrazionali, per i quali la serie che si ottiene derivando è indeterminata (la successione delle somme parziali non ha limite), cosa si può dire sul comportamento della derivata?
Ultima domanda: più o meno qual è il comportamento grafico di f(x) ??
Grazie per eventuali risposte

[anto_zoolander]

Dopo aver visto che il termine della serie è una successione di funzioni continue e uniformemente convergente a $0$, non ti conviene studiare prima $s_m(x)=sum_(n=0)^(m)f_n(x)$?

Hai già visto se converga uniformemente, o almeno puntualmente?

Devo ammettere comunque che graficata per valori alti, è veramente bella, sembra un frattale! Ho proprio sentito un accartocciarsi dei neuroni

[Sk_Anonymous]

".Ruben.":[...] Inoltre, non riesco a identificare il comportamento della derivata della funzione quando x è un numero razionale. [...]

Se ritieni che la funzione non sia derivabile, perché e come calcoli/studi la derivata?

[.Ruben.17]

"Delirium":[quote=".Ruben."][...] Inoltre, non riesco a identificare il comportamento della derivata della funzione quando x è un numero razionale. [...]

Se ritieni che la funzione non sia derivabile, perché e come calcoli/studi la derivata?[/quote]
Viene una serie serie che non converge
Dovrò studiarla per capirne il carattere, no?

[.Ruben.17]

"anto_zoolander":Dopo aver visto che il termine della serie è una successione di funzioni continue e uniformemente convergente a $0$, non ti conviene studiare prima $s_m(x)=sum_(n=0)^(m)f_n(x)

Hai perfettamente ragione
Purtroppo devo precisarti che per ora (sto studiando analisi 1 a fisica) mi manca il concetto di convergenza uniforme

[Sk_Anonymous]

".Ruben.":[quote="Delirium"][quote=".Ruben."][...] Inoltre, non riesco a identificare il comportamento della derivata della funzione quando x è un numero razionale. [...]

Se ritieni che la funzione non sia derivabile, perché e come calcoli/studi la derivata?[/quote]
Viene una serie serie che non converge
Dovrò studiarla per capirne il carattere, no?[/quote]
Studiare chi? La serie delle derivate non è sempre la derivata della serie, servono delle condizioni piuttosto forti per avere identificazione (cfr. teorema 3.3 pagg. 11-12). Se postuli che la funzione non sia derivabile in nessun punto del suo dominio, devi dimostrare che i limiti dei rapporti incrementali non esistono finiti in nessun punto (cfr. qui o qui).

[.Ruben.17]

Vedo che la faccenda é molto piú complicata di quanto mi aspettassi...
Ora vedo di capirci qualcosa se riesco.

[Bremen000]

Giusto per conoscenza mi pare carino citare ache il moto Browniano. Da fisico, immagino che per te sia piuttosto interessante (credo modelli qualcosa che ha a che fare con il moto caotico di particelle ecc..). Si può dimostrare che questa "classe di funzioni" è continua su tutto $RR$ (anzi un po' di più) ma non è derivabile in alcun punto e ha variazione prima infinita in ogni sottointervallo!

[.Ruben.17]

"Bremen000":Giusto per conoscenza mi pare carino citare ache il moto Browniano. Da fisico, immagino che per te sia piuttosto interessante (credo modelli qualcosa che ha a che fare con il moto caotico di particelle ecc..). Si può dimostrare che questa "classe di funzioni" è continua su tutto $RR$ (anzi un po' di più) ma non è derivabile in alcun punto e ha variazione prima infinita in ogni sottointervallo!

Si, é proprio partendo da un qualcosa del genere che, per analogia, ho iniziato la "ricerca" di funzioni di questo tipo.