Funzione invertibile in un punto

[ludwigZero]

Salve

Studiando l'invertibilità di una funzione, non mi è chiaro come trovare l'intorno di un punto in cui la funzione sia invertibile.

Ad esempio:

Ho questa funzione:

$y= 10x/sqrt(x|x|+4)$

e il punto $x=2$

come dimostro che esiste un intorno di 2 in cui la f è invertibile? E creare il più grande sottoinsieme di quell'intorno?

[Shadow!]

Per prima cosa, ovviamente affinchè una funzione sia invertibile deve essere iniettiva.
Il dominio della funzione è $ (-2,+∞) $ ed è positiva per $ x>0 $.
Dunque se la funzione è monotona nell'intervallo $ (0,+∞) $ sicuramente sarà invertibile in un intorno di $2$.
La derivata prima della funzione per $ x>0 $ è $ 40/root()((x^2+4)^3 $ che è strettamente positiva, dunque la funzione è monotona in $ (0,+∞) $ e dunque invertibile in tale intervallo (con opportune restrizioni di codominio dove necessario).
Puoi verificare facilmente come la funzione è monotona anche nell'intervallo $ (-2,+∞) $ e dunque invertibile in tutto il suo dominio.
Non saprei se c'è un metodo più veloce però

[ludwigZero]

ah, io avevo 'semplicemente' messo dentro il 2, trovandomi il punto $(2, 20/sqrt(8))$ e dire che è invertibile anche intorno al punto $( 20/sqrt(8) ,2)$ non può andare?

[Berker]

Posso chiederti dove hai preso questo esercizio?