Funzione invertibile
Allora ragazzi,stavo studiando un teorema sulle curve che dice:
"Due curve equivalenti hanno la stessa Lunghezza"
Ad un certo punto viene detto che $c$ la funzione che ci permette di ottenere il cambio di parametro fra $t$ ed $s$ ha derivata sempre maggiore di 0 o sempre minore di 0.
All'inizio non capivo il perchè.
Poi ho pensato che questa è una funzione invertibile,è questo il perchè?
"Due curve equivalenti hanno la stessa Lunghezza"
Ad un certo punto viene detto che $c$ la funzione che ci permette di ottenere il cambio di parametro fra $t$ ed $s$ ha derivata sempre maggiore di 0 o sempre minore di 0.
All'inizio non capivo il perchè.
Poi ho pensato che questa è una funzione invertibile,è questo il perchè?
Risposte
no, una funzione può essere invertibile ma avere derivata nulla (ero cascato pure io in questo tranello, ma pensa ad x^3 in 0).
prova a guardare meglio la definizione del cambiamento di parametrizzazione, dovresti trovare scritto che, oltre ad essere una funzione invertibile, deve anche avere la derivata diversa da 0. da questo deduci che la derivata o è sempre maggiore, o è sempre minore di 0, altrimenti non sarebbe invertibile
prova a guardare meglio la definizione del cambiamento di parametrizzazione, dovresti trovare scritto che, oltre ad essere una funzione invertibile, deve anche avere la derivata diversa da 0. da questo deduci che la derivata o è sempre maggiore, o è sempre minore di 0, altrimenti non sarebbe invertibile
Trovato.
Praticamente dice che ha derivata sempre diversa da 0.Dunque è strettamente monotona.
Quindi è invertibile.
Praticamente dice che ha derivata sempre diversa da 0.Dunque è strettamente monotona.
Quindi è invertibile.
fai attenzione perchè quello che dici non è del tutto vero: in generale non è vero che derivata diversa da 0 implica invertibilità (pensa alla funzione |x|, che non è derivabile in 0) nè che invertibilità implica derivata diversa da 0. per questo, quando viene definito il cambiamento di parametrizzazione, specificano sia che è una funzione inveritibile, sia che la sua derivata è diversa da 0
"enr87":Infatti in genere si dice che il cambiamento di parametro è un diffeomorfismo di classe $C^1$, oppure un $C^1$-isomorfismo: si intende una applicazione $C^1$, invertibile, con l'inversa $C^1$. E' facile vedere che una applicazione siffatta deve avere derivata di segno costante e mai nulla.
specificano sia che è una funzione inveritibile, sia che la sua derivata è diversa da 0
Ma se una funzione ha derivata sempre maggiore di 0,non è monotona è quindi invertibile?
questo sì, ma è diverso dal dire che la derivata è diversa da 0
Credo che questi cambiamenti di parametro siano proprio monotoni ,cioè abbiano derivata sempre maggiore di 0 o minore di 0.
Mi pare infatti che questa sia condizione necessaria e sufficiente per funzioni continue.
Mi pare infatti che questa sia condizione necessaria e sufficiente per funzioni continue.
uhm.. stai continuando a sostenere che invertibilità (o monotonia in senso stretto, che è la stessa cosa) implica derivata diversa da 0. i cambiamenti di parametrizzazione sono
1) strettamente monotoni (ovvero invertibili)
2) hanno derivata diversa da 0
1) non implica 2), 2) non implica 1). ma 1) e 2) implica che la derivata è sempre strettamente maggiore o sempre strettamente minore di 0
1) strettamente monotoni (ovvero invertibili)
2) hanno derivata diversa da 0
1) non implica 2), 2) non implica 1). ma 1) e 2) implica che la derivata è sempre strettamente maggiore o sempre strettamente minore di 0
grazie per le risposte.
Mi sono abbastanza confuso su questa cosa.
Sicuramente La 1 non implica la 2 . Puoi fare un esempio della 2 non impliica 1?Cosi mi rispolvero queste cose..
Mi sono abbastanza confuso su questa cosa.
Sicuramente La 1 non implica la 2 . Puoi fare un esempio della 2 non impliica 1?Cosi mi rispolvero queste cose..
te l'ho fatto prima, f(x) = |x|: dove f è differenziabile, la derivata è diversa da 0 eppure la funzione non è monotona. ti faccio notare però che f in questo caso non è di classe $C^1$: diciamo che in generale 2 non implica 1, ma nel caso di funzioni C^1 (come il cambiamento di parametrizzazione) questo invece si verifica. il perchè è intuitivo: se la derivata esiste ed è continua e diversa da 0, allora o è sempre maggiore o è sempre minore di 0. questa è una condizione sufficiente perchè la funzione sia crescente o decrescente in senso stretto.
ora mi hai fatto sorgere un dubbio: nella mia definizione trovo che il c.d.p. è una funzione biiettiva, di classe C^1 e con derivata diversa da 0. ma credo che l'avere derivata diversa da 0 implichi la biiettività del c.d.p., visto che è C^1, per quanto detto sopra (ma allora perchè c'è la necessità di dire che è biunivoca?)
PS: cercasi dimostrazione delle formule di riduzione su rettangoli per gli integrali doppi
[edit] meglio aspettare l'intervento di qualche moderatore per conferme e chiarimenti
ora mi hai fatto sorgere un dubbio: nella mia definizione trovo che il c.d.p. è una funzione biiettiva, di classe C^1 e con derivata diversa da 0. ma credo che l'avere derivata diversa da 0 implichi la biiettività del c.d.p., visto che è C^1, per quanto detto sopra (ma allora perchè c'è la necessità di dire che è biunivoca?)
PS: cercasi dimostrazione delle formule di riduzione su rettangoli per gli integrali doppi
[edit] meglio aspettare l'intervento di qualche moderatore per conferme e chiarimenti
La mia definizione è:
Funzione di classe C1,con derivata sempre diversa da 0.Quindi invertibile.
Con inversa di classe C1.
E' Monotona e quindi invertibile.
Comunque formule di riduzione su rettangoli?
Ma nel senso su domini x-semplici ed y-semplici?
Funzione di classe C1,con derivata sempre diversa da 0.Quindi invertibile.
Con inversa di classe C1.
E' Monotona e quindi invertibile.
Comunque formule di riduzione su rettangoli?
Ma nel senso su domini x-semplici ed y-semplici?
allora la tua definizione mi pare strutturata meglio della mia, perchè deducono l'invertibilità dal fatto che la funzione è C1 con derivata sempre diversa da 0, ma ripeto che è meglio aspettare l'intervento di qualche matematico..
per le formule di riduzione, intendo quelle su rettangoli, che sono pur sempre domini semplici. manda per email grazie
per le formule di riduzione, intendo quelle su rettangoli, che sono pur sempre domini semplici. manda per email grazie
Compagno non saprei non le ho sotto mano.
Guarda qui http://www.google.it/url?q=http://dm.in ... RySQA2F-oQ forse trovi qualcosa.
Ma tu l'hai fatta la dimostrazione del teorema di rettificabilità?
Ad una certa dice che visto che f è uniformemente continua...
Ma questo fatto lo deduce dal fatto che è di classe $C^1$ o non basta?
Guarda qui http://www.google.it/url?q=http://dm.in ... RySQA2F-oQ forse trovi qualcosa.
Ma tu l'hai fatta la dimostrazione del teorema di rettificabilità?
Ad una certa dice che visto che f è uniformemente continua...
Ma questo fatto lo deduce dal fatto che è di classe $C^1$ o non basta?
io non ho visto la dimostrazione di quel teorema, ho solo una giustificazione fisica di quella cosa (l'integrale della velocità scalare ti dà lo spazio percorso).
la continuità uniforme l'ho vista un po' di striscio, ma non credo che se f è C1 allora è uniformemente continua: la continuità uniforme, in parole molto povere, ti dice che il tasso di crescita di f non può essere troppo elevato (infatti è una condizione più restrittiva della continuità).. non vedo cosa possa c'entrare col fatto che f è C1, però è meglio che chiedi a qualcun altro per questo punto, oppure mostrami tutta la dimostrazione se non è troppo lunga (magari in due riusciamo a fare qualcosa)
la continuità uniforme l'ho vista un po' di striscio, ma non credo che se f è C1 allora è uniformemente continua: la continuità uniforme, in parole molto povere, ti dice che il tasso di crescita di f non può essere troppo elevato (infatti è una condizione più restrittiva della continuità).. non vedo cosa possa c'entrare col fatto che f è C1, però è meglio che chiedi a qualcun altro per questo punto, oppure mostrami tutta la dimostrazione se non è troppo lunga (magari in due riusciamo a fare qualcosa)
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