Funzione inversa molto complicata
Salve, è da due giorni che sto cerando di risolvere questa funzione rendendola inversa :
y = $sqrt( log(pi/6) (sen^2 x - 2senx +1)) * arcsen ( cosx/ (sqrt(3) - cosx))$
y = $sqrt( log(pi/6) (sen^2 x - 2senx +1)) * arcsen ( cosx/ (sqrt(3) - cosx))$
Risposte
Anche se tutto è dentro al logaritmo non cambia nulla, anzi diventa ancora peggio...soprattutto la derivata...veramente non riesco a capire il senso di questi esercizi...nell'ultimo che hai postato non capisco neanche io cosa c'entri quel 1/2...non so che dirti, se qualcun altro ha qualche idea...
Per il primo non cambia niente ... mentre per l'ultimo teoricamente è invertibile ma la vedo dura esplicitare l'inversa mentre per quanto riguarda il dominio ... l'avrà fatto a caso, anche perché c'è un bel buco lì dentro (tra $1$ e $2$)
IMHO, se sono esami vecchi non può darsi che ci siano errori nelle espressioni delle funzioni?
IMHO, se sono esami vecchi non può darsi che ci siano errori nelle espressioni delle funzioni?
La prima funzione che ho postato è del 2015, mentre l'ultima del 2012...non so veramente cosa fare, tra l'altro non ho (ovviamente) neppure le soluzioni.
"Domeniko98":
Oddio spero di non aver creato un casino... il pi/6 è riferito alla base del logaritmo. E' log in base pi/6 non so se si era capito.
Non è log in base 10 di pi/6 per sen^2...
Sen^2x etc.. è l'argomento del logaritmo
Ah...adesso mi è chiaro grazie della precisazione.
Per quanto riguarda l'ultima ($(1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1))$) se è invertibile in $(1/2;+\infty)$ (e mi pare lo sia essendo iniettiva), l'inversa non si potrebbe ottenere così?:
$log_(1/2)y=log_(1/2)((1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)))$
$log_(1/2)y=sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)$
dato che $x+1>0$ in $(1/2; +\infty)$ tolgo il valore assoluto e sposto questo termine a sinistra;
$log_(1/2)y + (x+1) = sqrt(x^2-3x+2)$
adesso faccio il quadrato
$log_(1/2)^2y+x^2+2x+1+2(x+1)log_(1/2)y=x^2-3x+2$
sposto i termini in $x$ a dx:
$log_(1/2)^2y + 2log_(1/2)y -1 = -x(5+2log_(1/2)y)$
cambiando il segno e imponendo che $5+2log_(1/2)y\ne0$ cioè $y\ne(1/2)^(-5/2)$ valore "assunto" solo per $x\rightarrow+\infty$
$x= (1-2log_(1/2)y-log_(1/2)^2y)/((5+2log_(1/2)y)$
cambiando $x$ con $y$ dovrei aver ottenuto l'inversa. Va bene secondo voi? Per me è un occasione per riflettere
Non ho controllato per bene i tuoi conti però una lacuna c'è: quando elevi al quadrato devi assicurarti che il membro di sx sia positivo ...
Ho qui l'ultimo esercizio :
y = $sqrt(x+1 - sqrt(x^2 - x -2))$ . Determinare f^-1 in (-00, $sqrt(2)$)
Questo è veramente l'ultimo, neanche per questo nulla?
Anche io credo che per il precedente ci sia un errore...in ogni caso sono calcoli troppi farraginosi, non so se siano richieste normali
y = $sqrt(x+1 - sqrt(x^2 - x -2))$ . Determinare f^-1 in (-00, $sqrt(2)$)
Questo è veramente l'ultimo, neanche per questo nulla?
Anche io credo che per il precedente ci sia un errore...in ogni caso sono calcoli troppi farraginosi, non so se siano richieste normali
"axpgn":
Non ho controllato per bene i tuoi conti però una lacuna c'è: quando elevi al quadrato devi assicurarti che il membro di sx sia positivo ...
grazie.
"Domeniko98":
Ho qui l'ultimo esercizio :
y = $sqrt(x+1 - sqrt(x^2 - x -2))$ . Determinare f^-1 in (-00, $sqrt(2)$)
Questo è veramente l'ultimo, neanche per questo nulla?
Anche io credo che per il precedente ci sia un errore...in ogni caso sono calcoli troppi farraginosi, non so se siano richieste normali
Ciao, l'errore c'è ma definire farraginosi tali calcoli mi sembra un po' troppo, sono quattro passaggi algebrici, la questione sta nel fatto se sono leciti o meno. Vabbè. Per quanto riguarda il tuo ultimo esercizio la butto lì: la funzione non esiste nell'intervallo proposto $(-\infty, sqrt(2))$, pertanto non vale neanche la pena cercare l'inversa. Oppure sbaglio anche in questo caso?
"Ziben":
[quote="Domeniko98"]Ho qui l'ultimo esercizio :
y = $sqrt(x+1 - sqrt(x^2 - x -2))$ . Determinare f^-1 in (-00, $sqrt(2)$)
Questo è veramente l'ultimo, neanche per questo nulla?
Anche io credo che per il precedente ci sia un errore...in ogni caso sono calcoli troppi farraginosi, non so se siano richieste normali
Ciao, l'errore c'è ma definire farraginosi tali calcoli mi sembra un po' troppo, sono quattro passaggi algebrici, la questione sta nel fatto se sono leciti o meno. Vabbè. Per quanto riguarda il tuo ultimo esercizio la butto lì: la funzione non esiste nell'intervallo proposto $(-\infty, sqrt(2))$, pertanto non vale neanche la pena cercare l'inversa. Oppure sbaglio anche in questo caso?
[/quote]Quattro passaggi algebrici? Trovami l'inversa degli altri 3 esercizi proposti, soprattutto del primo e del secondo, visto che il terzo a quanto pare non ci sei riuscito
A dir la verità, l'inversa del terzo l'ha trovata ... 
... manca un passaggio (la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato) ma i passaggi son corretti ...
Per gli altri non esiste inversa, quindi la conclusione, secondo me, è che il tuo prof quando chiede di trovare l'inversa intende "trovate l'inversa o dimostrate che non esiste", il che è legittimo ...
... manca un passaggio (la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato) ma i passaggi son corretti ...Per gli altri non esiste inversa, quindi la conclusione, secondo me, è che il tuo prof quando chiede di trovare l'inversa intende "trovate l'inversa o dimostrate che non esiste", il che è legittimo ...
Ciao, mi dispiace se le mie parole sono risultate irritanti, non volevo offendere nessuno. Per quanto riguarda la la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato: la funzione in questione $y=(1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1))$ è definita per $x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$. Nell'intervallo richiesto per l'inversa, $(1/2,+\infty)$ la funzione è definita nei due intervalli $(1/2,1]$ e $[2,+\infty)$. Nel primo la funzione è strettamente crescente, nel secondo strettamente decrescente; è, inoltre, sempre limitata e $>1$ in quanto $sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)<0$ negli intervalli considerati.
Nel passaggio ai logaritmi mi ritrovo con entrambi i membri dell'uguaglianza che sono negativi. Cambio il segno e risultano entrambi positivi, così posso quadrare.
Nel passaggio ai logaritmi mi ritrovo con entrambi i membri dell'uguaglianza che sono negativi. Cambio il segno e risultano entrambi positivi, così posso quadrare.
A me pare buono ...
"Ziben":
Ciao, mi dispiace se le mie parole sono risultate irritanti, non volevo offendere nessuno. Per quanto riguarda la la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato: la funzione in questione $y=(1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1))$ è definita per $x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$. Nell'intervallo richiesto per l'inversa, $(1/2,+\infty)$ la funzione è definita nei due intervalli $(1/2,1]$ e $[2,+\infty)$. Nel primo la funzione è strettamente crescente, nel secondo strettamente decrescente; è, inoltre, sempre limitata e $>1$ in quanto $sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)<0$ negli intervalli considerati.
Nel passaggio ai logaritmi mi ritrovo con entrambi i membri dell'uguaglianza che sono negativi. Cambio il segno e risultano entrambi positivi, così posso quadrare.
Ma no figurati, anzi scusami tu e grazie mille per
l'esercizio che sembra essere fatto bene. Speriamo che in esame mi capitino funzioni più "fattibili"
@Ziben
Un paio di precisazioni ...
- se entrambi i membri dell'equazione sono negativi (come in questo caso) non devi fare assolutamente nulla prima di elevare al quadrato, il problema sorge quando sono di segno diverso; in tal caso devi distinguere le situazioni ed escludere dal dominio i valori che rendono discordi i segni.
- qualora volessi comunque cambiare di segno i due membri per renderli positivi, sarebbe un lavoro inutile in quanto nel momento in cui sposti $-|x+1|$ dall'altra parte ri-cambi di nuovo il segno ...
Cordialmente, Alex
Un paio di precisazioni ...
- se entrambi i membri dell'equazione sono negativi (come in questo caso) non devi fare assolutamente nulla prima di elevare al quadrato, il problema sorge quando sono di segno diverso; in tal caso devi distinguere le situazioni ed escludere dal dominio i valori che rendono discordi i segni.
- qualora volessi comunque cambiare di segno i due membri per renderli positivi, sarebbe un lavoro inutile in quanto nel momento in cui sposti $-|x+1|$ dall'altra parte ri-cambi di nuovo il segno ...
Cordialmente, Alex
Ciao. Grazie della precisazione, in effetti mi era venuto il dubbio. Quindi la questione insorge solo quando i 2 membri potrebbero essere di segno opposto. Io avevo pensato anche al seguente ragionamento; l'uguaglianza è vera in quanto si è imposto che $y$ è uguale al valore della funzione. Dopo che "faccio un passaggio ai logaritmi", cosa lecita perché il valore della funzione è positivo e quindi anche la $y$, mi ritrovo con una uguaglianza ancora vera e cioè:
$log_(1/2)y=sqrt(x^2-3x+2)-(x+1)$
Dopo aver spostato il termine $x+1$ a sn mi ritrovo:
$log_(1/2)y+(x+1)=sqrt(x^2-3x+2)$
a questo punto può insorgere il dubbio che il termine a sn possa essere negativo in quanto somma di un termine negativo e uno positivo. Ma a dx ho un termine positivo (sempre) e se a sn fosse negativo (anche in qualche valore dell'incognita) mi ritroverei con una uguaglianza errata a partire da una vera con passaggi leciti. Allora anche il termine di sn è positivo. Può filare come ragionamento (che varrebbe solo in casi come questo) o è azzardato?
Comunque ho verificato sfruttando il fatto sia $y$ che $x+1$ sono strettamente monotone negli intervalli considerati.
$log_(1/2)y=sqrt(x^2-3x+2)-(x+1)$
Dopo aver spostato il termine $x+1$ a sn mi ritrovo:
$log_(1/2)y+(x+1)=sqrt(x^2-3x+2)$
a questo punto può insorgere il dubbio che il termine a sn possa essere negativo in quanto somma di un termine negativo e uno positivo. Ma a dx ho un termine positivo (sempre) e se a sn fosse negativo (anche in qualche valore dell'incognita) mi ritroverei con una uguaglianza errata a partire da una vera con passaggi leciti. Allora anche il termine di sn è positivo. Può filare come ragionamento (che varrebbe solo in casi come questo) o è azzardato?
Comunque ho verificato sfruttando il fatto sia $y$ che $x+1$ sono strettamente monotone negli intervalli considerati.
Mi pare corretto ... la mia era solo una precisazione abbastanza inutile data appunto la "forma" della funzione ... ho voluto precisare solo per sottolineare il fatto che quando si "manipola" un'equazione ci sono molte "sottigliezze" di cui si deve tener conto (e principalmente a beneficio di eventuali futuri lettori ... )
Cordialmente, Alex
)Cordialmente, Alex
grazie del supporto e...tutto ciò che induce alla riflessione non è mai inutile 
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