Funzione inversa e composizione di funzione
Ciao a tutti!! Eccomi di nuovo. In un esercizio mi si chiede di trovare l'espressione della funzione inversa $ f^-1 $ e di verificare che $ (f@ f^-1)(x)=(f^-1@ f)(x)=x $ (il simbolo di composizione è corretto????).
La funzione è $ f(x)=100/(1+2^x) $
Ho trovato la funzione inversa ed è $ f^-1(x)=log_{2}(x/(100-x)) $
Adesso come faccio ad applicare $ (f(f^-1(x)) $ ??
La funzione è $ f(x)=100/(1+2^x) $
Ho trovato la funzione inversa ed è $ f^-1(x)=log_{2}(x/(100-x)) $
Adesso come faccio ad applicare $ (f(f^-1(x)) $ ??
Risposte
...di quale funzione?
Scusa ho cliccato "invia " per errore prima di avere finito di scrivere la domanda
"Anto007":
Ho trovato la funzione inversa ed è $ f^-1(x)=log_{2}(x/(100-x)) $
Questa è sbagliata. Rifai i calcoli.
"Anto007":
Adesso come faccio ad applicare $ (f(f^-1(x)) $ ??
Per questa, semplicemente se hai \( (f \circ g ) (x) \), ed hai ad esempio \(f(x)= \sqrt{x+1} \) allora semplicemente \( f(g(x))= \sqrt{g(x)+1} \). Niente di più semplice. Prima trova \( f^{-1} \) (quella corretta) e poi lo verifichi "alla mano" che vale \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \operatorname{id} \)
Ti chiedo scusa, ho omesso segno negativo dell'esponente , la funzione $ f(x) $ é $ f(x)=100/(1+2^-x) $
Comunque credo di aver capito come fare... Faccio una prova e ti faccio sapere 
Bene, ho fatto
$ (f@ f^-1)(x)=(f^-1(f(x)) $ $ rarr $ $ 100/(1+2^-(log_{2}(x/(100-x))) $ $ rarr $ $ 100/(1+(100-x)/x $ $ rarr $ $ 100/((100)/x) =x $
Corretto?
$ (f@ f^-1)(x)=(f^-1(f(x)) $ $ rarr $ $ 100/(1+2^-(log_{2}(x/(100-x))) $ $ rarr $ $ 100/(1+(100-x)/x $ $ rarr $ $ 100/((100)/x) =x $
Corretto?
"Anto007":
Bene, ho fatto
$ (f@ f^-1)(x)=(f^-1(f(x)) $ $ rarr $ $ 100/(1+2^-(log_{2}(x/(100-x))) $ $ rarr $ $ 100/(1+(100-x)/x $ $ rarr $ $ 100/((100)/x) =x $
Corretto?
Sni.
Hai dimostrato solamente che \( f \circ f^{-1} = \operatorname{id} \) ma non hai dimostrato che \( f^{-1} \circ f = \operatorname{id} \).
ps: mettici degli uguali non delle frecce.
Si lo so, ho dimostrato solo la prima composizione. Ora ti scrivo l'altra. $ (f^-1@ f)(x)=(f^-1(f(x))= $
$ =log_{2}((100/(1+2^-x))/(100-100/(1+2^-x))) $ $ =log_{2}((100/(1+1/2^x))/(100-100/(1+1/2^x))) $
$ =log_{2}((100/((2^x+1)/2^x))/(100-(100)/((2^x+1)/2^x))) $ $ =log_{2}(((100×2^x)/(2^x+1))/(100/(2^x+1))) $ $ =log_{2}(2^x)=x $
Quindi $ (f@ f^-1)(x)=(f^-1@ f)(x)=x $
$ =log_{2}((100/(1+2^-x))/(100-100/(1+2^-x))) $ $ =log_{2}((100/(1+1/2^x))/(100-100/(1+1/2^x))) $
$ =log_{2}((100/((2^x+1)/2^x))/(100-(100)/((2^x+1)/2^x))) $ $ =log_{2}(((100×2^x)/(2^x+1))/(100/(2^x+1))) $ $ =log_{2}(2^x)=x $
Quindi $ (f@ f^-1)(x)=(f^-1@ f)(x)=x $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo