Funzione inversa
Ciao, sono ancora io che vi disturbo 
ho difficoltà su quest'esercizio: si verifichi che la funzione $log(base2)(1+e^x)$ è biunivoca, e se ne determini l'inversa.
Innanzitutto scusate se non riesco a scrivere il logaritmo in base due con il suo linguaggio appropriato, poi giunco al mio problema: non so da dove incominciare, provo a calcolare l'inversa facendo $1/log(1+e^x)$ ma mi sa che sbaglio completamente anche perchè non riesco neanche ad andare avanti
ho difficoltà su quest'esercizio: si verifichi che la funzione $log(base2)(1+e^x)$ è biunivoca, e se ne determini l'inversa.
Innanzitutto scusate se non riesco a scrivere il logaritmo in base due con il suo linguaggio appropriato, poi giunco al mio problema: non so da dove incominciare, provo a calcolare l'inversa facendo $1/log(1+e^x)$ ma mi sa che sbaglio completamente anche perchè non riesco neanche ad andare avanti
Risposte
Allora .. in base due basta che scrivi _2 .. 
Per quanto riguarda la domanda, mi sa che devi rinfrescarti un po' le nozioni sui logaritmi e le esponenziali!
Per quanto riguarda la domanda, mi sa che devi rinfrescarti un po' le nozioni sui logaritmi e le esponenziali!
"lello.1988":
provo a calcolare l'inversa facendo $1/(log_2(1+e^x))$ ma mi sa che sbaglio completamente anche perchè non riesco neanche ad andare avanti
Questa è la reciproca della tua funzione.
Per trovare la funzione inversa devi trovare prima di tutto dominio e codominio, poi verificare che la funzione sia iniettiva, se è monotona tanto meglio, infine devi esplicitare la x dalla forma $y=log_2(1+e^x)$ e per fare questo ti conviene seguire il suggerimento di leena.
si lo so, ma il mio problema è è verificare la biunivocità della funzione, per l'inversa mi rendo conto che devo rivedere qualcosa, anzi approfitto a dire se qualcuno può anche spiegarmi qualche nozione sul calcolo dell'inversa. Grazie...
Per trovare l'inversa devi riscrivere la tua $y=f(x)$ come una $x=g(y)$..
Ti faccio un esempio $y=(x+3)/2$ allora $2y=x+3$ e quindi $x=2y-3$
Ti faccio un esempio $y=(x+3)/2$ allora $2y=x+3$ e quindi $x=2y-3$
ho cercato di calcolare l'inversa. Qualcuno può dirmi se è questo il risultato: $x=log_e(2^y-1)$
Si..... ma il logaritmo in base $e$ non si può guardare! 
si scusa, è solo che su alcuni libri il logaritmo naturale è espresso con $logx$ e da altre parti con $ln$, allora per evitare disguidi ho specificato
Diciamo che sin dall'inizio ti potevi accorgere (in modo elementare) che la funzione è invertibile, quindi, biunivoca ... la tua $ y $ dipende soltanto da una $x$, il che ti permette di esprimere, poi, la tua $x$ in funzione di una sola $y$.
Se, invece, per esempio la tua funzione iniziale fosse stata $ y=f(x)=log_2(1+e^(x^2)) $ beh in quel caso, alla fine, avresti avuto che $x^2=ln(2^(y)-1) \rightarrow x_{1,2}= \pm sqrt(ln(2^(y)-1))$, cioè ad una sola $y$ corrispondono due valori di $x$ disegno opposto, ma dello stesso valore (in valore assoluto). Solo se restringi in modo opportuno il dominio, allora potrai dire che quella funzione è biettiva (solo in quella dominio ristretto) ok?
Se, invece, per esempio la tua funzione iniziale fosse stata $ y=f(x)=log_2(1+e^(x^2)) $ beh in quel caso, alla fine, avresti avuto che $x^2=ln(2^(y)-1) \rightarrow x_{1,2}= \pm sqrt(ln(2^(y)-1))$, cioè ad una sola $y$ corrispondono due valori di $x$ disegno opposto, ma dello stesso valore (in valore assoluto). Solo se restringi in modo opportuno il dominio, allora potrai dire che quella funzione è biettiva (solo in quella dominio ristretto) ok?
Aliseo, ti rendi conto che l'esempio che hai fatto manda a farsi benedire la tua prima asserzione e cioè che, dal momento c'è dipendenza da una sola $x$ allora la funzione è invertibile? O per "solo una $x$" intendevi che la funzione dipende in un qualche modo particolare dalla $x$ stessa?
Volevo semplicemente dire, che se la funzione è $ y=log_2(1+e^(x)) $, ad ogni valore di $x in R$ corrisponde uno e un solo valore di $y in R_+$.
Se invece prendo la funzione $ y=log_2(1+e^(x^2)) $, se considero il valore $ + x_0$, avrò un valore di $y$ pari a $ log_2(1+e^([x_0]^2))=log_2(1+e^(x_0^2)) $, stesso valore che ottiengo anche quando considero il valore $ - x_0 $ (infatti il valore della funzione sarà proprio $ log_2(1+e^([-x_0]^2))=log_2(1+e^(x_0^2)) $ ). In questo caso dirò che la funzione $ y=log_2(1+e^(x^2)) $ sarà biettiva nel dominio $ D_1=[0, +\infty) $ o nel dominio $ D_2=(-\infty, 0] $.
Capì?
Se invece prendo la funzione $ y=log_2(1+e^(x^2)) $, se considero il valore $ + x_0$, avrò un valore di $y$ pari a $ log_2(1+e^([x_0]^2))=log_2(1+e^(x_0^2)) $, stesso valore che ottiengo anche quando considero il valore $ - x_0 $ (infatti il valore della funzione sarà proprio $ log_2(1+e^([-x_0]^2))=log_2(1+e^(x_0^2)) $ ). In questo caso dirò che la funzione $ y=log_2(1+e^(x^2)) $ sarà biettiva nel dominio $ D_1=[0, +\infty) $ o nel dominio $ D_2=(-\infty, 0] $.
Capì?
Ora è più chiaro , prima indubbiamente il tuo discorso poteva essere frainteso
, prima indubbiamente il tuo discorso poteva essere frainteso
ok! meglio chiarire, che lasciare frainteso
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