Funzione inversa
Ciao ragazzi,
Questo è un quesito di un tema d'esame. Non riesco a capire che cosa voglia e dove bisogna prendere la variabile gamma.. vi ringrazio in anticipo.
Questo è un quesito di un tema d'esame. Non riesco a capire che cosa voglia e dove bisogna prendere la variabile gamma.. vi ringrazio in anticipo.
Determinare:
(a) la cardinalità dell’insieme $f^(-1)(gamma)$ al variare del parametro reale $gamma$, dove $f(x) = 2e^2log x − x^2$.
Risposte
Hai letto attentamente il testo?
Ci sono tutte le informazioni che chiedi… Quindi cos’è che non ti è chiaro?
Ci sono tutte le informazioni che chiedi… Quindi cos’è che non ti è chiaro?
Buongiorno,
Non capisco quale sia gamma , l'equazione è $f(x) =2e...$ Non c'è $gamma$, a meno che $gamma$ non sia uguale a $f(x)$.
Non capisco quale sia gamma , l'equazione è $f(x) =2e...$ Non c'è $gamma$, a meno che $gamma$ non sia uguale a $f(x)$.
"Pasticcinonucleare":
Non capisco quale sia $gamma$ […]
C’è scritto:
"Pasticcinonucleare":
[…] al variare del parametro reale $ gamma $ […]
quindi…
Piuttosto, hai capito cosa ti chiede l’esercizio?
Sai cos’è l’insieme $f^(-1)(gamma)$ e cosa contiene?
Che vuol dire cardinalità? Che cos’è la cardinalità di $f^(-1)(gamma)$?
Ciao,
No, non so cosa sia quell'insieme.. pensavo di calcolare l'inversa di f(x) e trovare i casi in cui non è definita.. sbaglio?
No, non so cosa sia quell'insieme.. pensavo di calcolare l'inversa di f(x) e trovare i casi in cui non è definita.. sbaglio?
"Pasticcinonucleare":
No, non so cosa sia quell'insieme...
Allora vai a rivedere la teoria.
Non è possibile mettersi a svolgere temi d’esame senza conoscere i fatti di base.
"Pasticcinonucleare":
[…] pensavo di calcolare l'inversa di f(x) e trovare i casi in cui non è definita.. sbaglio?
Se ciò si potesse sempre fare “a mano” molta della Matematica conosciuta non esisterebbe nemmeno.
Mi sono risfogliata il libro, se sapessi la soluzione non avrei scritto. Non so davvero dove altro cercare.. ho studiato il capitolo delle funzioni un sacco di volte ma non trovo nulla che mi possa aiutare.
"Pasticcinonucleare":
Mi sono risfogliata il libro, se sapessi la soluzione non avrei scritto.
Qui non si tratta di saper o meno risolvere l’esercizio, ma di avere le conoscenze di base che servono a capirne il testo.
"Pasticcinonucleare":
Non so davvero dove altro cercare.. ho studiato il capitolo delle funzioni un sacco di volte ma non trovo nulla che mi possa aiutare.
Che libro usi?
Possibile che non si parli mai di controimmagine, o immagine inversa, o antiimmagine, o preimmagine, o qualsiasi altro nome si voglia affibbiare all’insieme $f^(-1)(T)$ (con $T$ sottoinsieme del codominio di $f$)?
Ad ogni buon conto, se hai $f:X -> Y$ e se $T sube Y$, allora $f^(-1)(T) := \{ x in X : f(x) in T\}$; in particolare, se $T=\{gamma\}$ è un singleton, allora si scrive $f^(-1)(gamma)$ (senza usare le parentesi graffe[nota]Cioè non così $f^(-1)(\{gamma\})$.[/nota], per non appesantire la notazione) ed ovviamente $f^(-1)(gamma) = \{x in X : f(x) = gamma\}$.
Stanti queste definizioni, riesci a rispondere alle domande che ho posto prima?
Perché quello che ho scritto prima non andava bene ?
Volevo calcolare γ=2e²logx−x² e metterlo in funzione di x. Il numero di soluzioni mi avrebbe dato la cardinalità dell'insieme. Questa cosa del singoletto non la sapevo e ti ringrazio per averla scritta.
È una parabola, quindi invertendola per ogni x ottengo due y tranne nel vertice. Quindi la cardinalità è sempre due, tranne nel vertice che è uno. Sbaglio?
Volevo calcolare γ=2e²logx−x² e metterlo in funzione di x. Il numero di soluzioni mi avrebbe dato la cardinalità dell'insieme. Questa cosa del singoletto non la sapevo e ti ringrazio per averla scritta.
È una parabola, quindi invertendola per ogni x ottengo due y tranne nel vertice. Quindi la cardinalità è sempre due, tranne nel vertice che è uno. Sbaglio?
"Pasticcinonucleare":
Perché quello che ho scritto prima non andava bene ?
Perché quello che hai scritto non era comprensibile ad alcuno che non fosse te.
Quando comunichi con altri devi usare un linguaggio condiviso, termini specifici ed appropriati e preoccuparti di essere più chiaro possibile.
"Pasticcinonucleare":
Volevo calcolare γ=2e²logx−x² e metterlo in funzione di x.
E che vuol dire “calcolare” in questo contesto?
Qualunque cosa significhi, lo sai fare?
Se sì, come vorresti procedere? Ti sembra un tipo di equazione che hai mai risolto prima?
"Pasticcinonucleare":
Il numero di soluzioni mi avrebbe dato la cardinalità dell'insieme.
Giusto.
"Pasticcinonucleare":
Questa cosa del singoletto non la sapevo e ti ringrazio per averla scritta.
Prego.
Che libro usi?
"Pasticcinonucleare":
Considerando il singoletto e che per essere invertibile deve essere biunivoca, e quindi iniettiva, […]
Manca totalmente il soggetto.
Ed inoltre, cosa c’entra la biiettività con la definizione che ho dato sopra?
"Pasticcinonucleare":
[…] è possibile che abbia cardinalità pari a 1?
Manca sempre il soggetto, che indovino essere diverso da quello delle frasi (sconnesse) di prima.
Possibile è possibile, ma non sarà l’unica possibilità.
Uso il libro "analisi matematica" di Soardi.
Penso che la funzione inversa sia una parabola "sdraiata" in modo parallelo all'asse delle x. Credo abbia cardinalità 1 nel vertice e 2 nel resto della parabola.
Penso che la funzione inversa sia una parabola "sdraiata" in modo parallelo all'asse delle x. Credo abbia cardinalità 1 nel vertice e 2 nel resto della parabola.
Guarda che questo è un forum, non una chat.
Non ha alcun senso rispondere se non si leggono attentamente le risposte degli altri utenti.
Che vuol dire “sdraiata”? È un termine matematico? Non l’ho mai incontrato… Qual è la definizione?
P.S.: La definizione di controimmagine sul Soardi, Analisi Matematica I, Città Studi, è nel par. 2.2 a pag. 30, 6^ rigo dall’alto e seguenti; altrimenti, sul Maderna & Soardi, Lezioni di Analisi Matematica I, Città Studi, la definizione è nel cap. 3, par. 2 a pag. 47, 6^ rigo dall’alto e seguenti.
In entrambi i testi, dopo le definizioni ci sono diversi esempi.
Non ha alcun senso rispondere se non si leggono attentamente le risposte degli altri utenti.
Che vuol dire “sdraiata”? È un termine matematico? Non l’ho mai incontrato… Qual è la definizione?
P.S.: La definizione di controimmagine sul Soardi, Analisi Matematica I, Città Studi, è nel par. 2.2 a pag. 30, 6^ rigo dall’alto e seguenti; altrimenti, sul Maderna & Soardi, Lezioni di Analisi Matematica I, Città Studi, la definizione è nel cap. 3, par. 2 a pag. 47, 6^ rigo dall’alto e seguenti.
In entrambi i testi, dopo le definizioni ci sono diversi esempi.
Ciao gugo82,
È la prima domanda che pubblico in un forum e non sono molto pratica.
Cercherò di essere più precisa e di formulare frasi che siano comprensibili a tutti.
Conosco la definizione di controimmagine e so dove trovarla.
Non è stata la controimmagine a mandarmi in crisi ma il "gamma". Se avesse scritto y invece del "gamma" lo avrei risolto più facilmente.
Mi scuso se sono poco chiara, posso dire che sto cercando di fare del mio meglio sia nel farmi capire, sia nello studiare.
È la prima domanda che pubblico in un forum e non sono molto pratica.
Cercherò di essere più precisa e di formulare frasi che siano comprensibili a tutti.
Conosco la definizione di controimmagine e so dove trovarla.
Non è stata la controimmagine a mandarmi in crisi ma il "gamma". Se avesse scritto y invece del "gamma" lo avrei risolto più facilmente.
Mi scuso se sono poco chiara, posso dire che sto cercando di fare del mio meglio sia nel farmi capire, sia nello studiare.
Ciao.
Il moderatore fa bene a insistere sullo studio della teoria per poter poi procedere allo svolgimento di esercizi. Ad ogni modo, quando non si sa come svolgere un dato esercizio, talvolta conviene affrontare un esercizio simile ma più semplice, al fine di capire quale possa essere il procedimento vincente. Naturalmente, occorre sapere, nel tuo caso, cosa significhi controimmagine di un numero reale, che nel testo del tuo esercizio è indicato con gamma. Per questo il moderatore ha insistito sulla conoscenza delle definizioni. Se la funzione fosse lineare, per esempio f(x) = x - 3, cosa significherebbe determinare la cardinalità dell'insieme dei numeri reali x tali che x - 3 = gamma, al variare di gamma nell'insieme dei reali? L'equazione x - 3 = gamma equivale al sistema formato dalle equazioni y = x - 3 e y = gamma. Quindi, ti basterebbe rappresentare il grafico della funzione lineare e contare quante intersezioni ha quel grafico con quello di una retta appartenente al fascio improprio di rette parallele all'asse delle x. Naturalmente, in questo esempio la risposta è 1. Nel tuo caso, se rappresenti il grafico della funzione f(x) (che non è quello di una parabola...) cosa trovi?
Il moderatore fa bene a insistere sullo studio della teoria per poter poi procedere allo svolgimento di esercizi. Ad ogni modo, quando non si sa come svolgere un dato esercizio, talvolta conviene affrontare un esercizio simile ma più semplice, al fine di capire quale possa essere il procedimento vincente. Naturalmente, occorre sapere, nel tuo caso, cosa significhi controimmagine di un numero reale, che nel testo del tuo esercizio è indicato con gamma. Per questo il moderatore ha insistito sulla conoscenza delle definizioni. Se la funzione fosse lineare, per esempio f(x) = x - 3, cosa significherebbe determinare la cardinalità dell'insieme dei numeri reali x tali che x - 3 = gamma, al variare di gamma nell'insieme dei reali? L'equazione x - 3 = gamma equivale al sistema formato dalle equazioni y = x - 3 e y = gamma. Quindi, ti basterebbe rappresentare il grafico della funzione lineare e contare quante intersezioni ha quel grafico con quello di una retta appartenente al fascio improprio di rette parallele all'asse delle x. Naturalmente, in questo esempio la risposta è 1. Nel tuo caso, se rappresenti il grafico della funzione f(x) (che non è quello di una parabola...) cosa trovi?
@ Pasticcinonucleare: Ok.
E quindi?
E che vuol dire “calcolare” in questo contesto?
Qualunque cosa significhi, lo sai fare?
Se sì, come vorresti procedere? Ti sembra un tipo di equazione che hai mai risolto prima?[/quote]
@ giuseppe miglio: Certo, buona strada.
Cerco di farlo capire ai miei studenti di seconda liceo più o meno nei termini che hai usato tu.
Supponiamo di voler risolvere un’equazione del tipo $f(x) = gamma$ ma di non saper fare i conti in maniera esplicita (cosa che alle superiori non capita quasi mai e quindi tutti gli studenti che escono da lì sembrano convinti che “calcolare” sia sempre possibile e quasi scontato… Quando non è mai così[nota]Casomai vale il contrario: gli unici casi in cui si possono risolvere esplicitamente le equazioni (i.e., in cui si può “calcolare”) sono esattamente quelli presentati agli studenti tra i banchi di scuola, forse solo qualcuno in più.
Dunque è il “calcolare” che è una possibilità remota, non il non poter svolgere esplicitamente i conti.[/nota]).
Come facciamo?
Dato che la risoluzione di equazioni è uno dei problemi fondamentali di tutta la Matematica, non possiamo arrenderci subito e dobbiamo trovare un modo per ottenere un risultato, se non esatto almeno decentemente approssimato.
L’idea è quella di complicare l’equazione… Per semplificarne la soluzione!
Infatti, introduciamo una variabile ausiliaria $y$ ponendo $f(x) = y$; in questo modo, l’equazione assegnata si trasforma in un sistema di due equazioni, cioè:
$\{( y = f(x) , text([definizione della var. aux.])), (y = gamma, text([equazione assegnata con la var. aux. al posto di ) f(x) text(])):}$.
Risolvere il sistema equivale a determinare i punti di intersezione di due curve nel piano cartesiano $Oxy$:
E quindi?
"gugo82":
[quote="Pasticcinonucleare"]Volevo calcolare γ=2e²logx−x² e metterlo in funzione di x.
E che vuol dire “calcolare” in questo contesto?
Qualunque cosa significhi, lo sai fare?
Se sì, come vorresti procedere? Ti sembra un tipo di equazione che hai mai risolto prima?[/quote]
@ giuseppe miglio: Certo, buona strada.
Cerco di farlo capire ai miei studenti di seconda liceo più o meno nei termini che hai usato tu.
Supponiamo di voler risolvere un’equazione del tipo $f(x) = gamma$ ma di non saper fare i conti in maniera esplicita (cosa che alle superiori non capita quasi mai e quindi tutti gli studenti che escono da lì sembrano convinti che “calcolare” sia sempre possibile e quasi scontato… Quando non è mai così[nota]Casomai vale il contrario: gli unici casi in cui si possono risolvere esplicitamente le equazioni (i.e., in cui si può “calcolare”) sono esattamente quelli presentati agli studenti tra i banchi di scuola, forse solo qualcuno in più.
Dunque è il “calcolare” che è una possibilità remota, non il non poter svolgere esplicitamente i conti.[/nota]).
Come facciamo?
Dato che la risoluzione di equazioni è uno dei problemi fondamentali di tutta la Matematica, non possiamo arrenderci subito e dobbiamo trovare un modo per ottenere un risultato, se non esatto almeno decentemente approssimato.
L’idea è quella di complicare l’equazione… Per semplificarne la soluzione!
Infatti, introduciamo una variabile ausiliaria $y$ ponendo $f(x) = y$; in questo modo, l’equazione assegnata si trasforma in un sistema di due equazioni, cioè:
$\{( y = f(x) , text([definizione della var. aux.])), (y = gamma, text([equazione assegnata con la var. aux. al posto di ) f(x) text(])):}$.
Risolvere il sistema equivale a determinare i punti di intersezione di due curve nel piano cartesiano $Oxy$:
- [*:w0ql5lg4] la retta di equazione $y=gamma$, con $gamma in RR$, che è la generica retta parallela all’asse $x$,
[/*:m:w0ql5lg4]
[*:w0ql5lg4] la curva di equazione $y = f(x)$, che è il grafico della funzione $f$[/*:m:w0ql5lg4][/list:u:w0ql5lg4]
e risolvere l’equazione $f(x) = gamma$ equivale a determinare le ascisse dei punti di intersezione delle due curve.
Il problema ausiliario si può risolvere graficamente: basta disegnare la curva-grafico $y = f(x)$ e cercare di capire come variano le soluzioni del sistema $\{(y = f(x)), (y = gamma) :}$ al variare di $gamma in RR$.
Questo che ho appena illustrato si chiama usualmente metodo grafico.
Nel caso in esame, la faccenda è anche più semplice, perché non siamo interessati alle soluzioni (esatteod approssimate) dell’equazione $f(x) = gamma$, ma solo al loro numero; quindi basta “contare”, al variare di $gamma$, quanti punti di intersezione hanno le curve $y = f(x)$ ed $y = gamma$.
Ciao Pasticcinonucleare,
Benvenuta sul forum!
Riassumendo:
i) 2 soluzioni reali e distinte per $\gamma < e^2 $;
ii) 2 soluzioni reali e coincidenti per $\gamma = e^2 $ (infatti la funzione $f(x) = 2e^2log x − x^2 $ ha un massimo nel punto $M(e, e^2) $);
iii) Nessuna soluzione per $\gamma > e^2 $.
Benvenuta sul forum!
Riassumendo:
i) 2 soluzioni reali e distinte per $\gamma < e^2 $;
ii) 2 soluzioni reali e coincidenti per $\gamma = e^2 $ (infatti la funzione $f(x) = 2e^2log x − x^2 $ ha un massimo nel punto $M(e, e^2) $);
iii) Nessuna soluzione per $\gamma > e^2 $.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo