Funzione inversa

[nick_10]

Salve a tutti! Sto svolgendo un esercizio su una funzione inversa. Mi è assegnata una funzione $f(x)=x+sinx$ e poi una serie di richieste sulla sua inversa $g(x)$. Son riuscito a dimostrare che ammette un'inversa, di classe $C^(infty)$. I problemi nascondo con richieste del tipo: determinare i punti in cui g(x) è derivabile, calcolare ordine di infinitesimo e parte principale di g(x) per x che tende a zero, studiare l'uniforme continuità e l'holderianità della funzione inversa.
La funzione inversa non è esprimibile per mezzo di funzioni matematiche elementari e penso che non sia quello l'intento del problema. Come posso ragionare su queste richieste? (Ah per l'ordine di infinitesimo non ci dovrebbero essere problemi; dovrebbe risultare $g(x)~1/2x$ per x che tende a zero)

[Sk_Anonymous]

"nick_10":[...] Son riuscito a dimostrare che ammette un'inversa, di classe $C^(infty)$. [...]

Non mi torna la regolarità dell'inversa: per fissare le idee, restringi lo studio della derivabilità di \( g \) all'intervallo \( [0,\pi)\) dove \(f' >0 \); hai che \( f: [0,\pi) \to f([0,\pi))\) è una biiezione. Usa la definizione di derivata per \(g\). Poi dovrai discutere i punti \(x \in \mathbb{R}\) in cui \(f'(x)=0\), che sono del tipo \( x=\pi \pm 2k \pi\) con \(k \in \mathbb{N}\). Ci si aspetta che ivi \(g\) non sia derivabile.

[nick_10]

Si scusami...erroraccio. Infatti studiando la derivata della funzione vedo che si annulla (pensavo che al posto di x ci fosse 2x) proprio in quei punti che dici tu.

Una domanda; per l'uniforme continuità ho avuto un'idea. Potrei usare il fatto che la funzione g(x)-x è periodica e continua, dunque uniforme continua per Heine Cantor in un intervallo chiuso [0,T] con T periodo funzione. Poi scrivo g(x)=x+(g(x)-x) e concludo per somma di funzioni uniformemente continue. Resterebbe così solo da dimostrare che g(x)-x è periodica