Funzione integranda con funzione esponenziale

[alessandromagno08]

Ciao,

vorrei un aiuto su come risolvere questo integrale:

$\int_{0}^{+infty} \int_{x}^{+infty} K_1 K_2 e^(-K_1x-K_2y) dydx$

Primo passaggio:

$\int_{0}^{+infty} K_1 e^(-K_1x) (\int_{x}^{+infty} K_2 e^(-K_2y) dy)dx$

Prima domanda: sapendo che la funzione di densità di $y$ corrisponde a $K_2 e^(-K_2y)$ , perché l'integrale in $dy$ (tra parentesi) corrisponde a $1 - F_y(x)$ ?

Seconda domanda: mi fate i passaggi per i quali l'integrale in $dy$ (tra parentesi) è uguale a $e^(-K_2x)$ ?

A me verrebbe $-e^(-K_2x)$, perché la derivata di $e^(-K_2x)$ dovrebbe essere uguale a $e^(-K_2x)$ per la derivata di $-K_2x$ e cioè $-K_2$, quindi $-e^(-K_2x) * -K_2$...

Grazie!

[Lo_zio_Tom]

1) soluzione "Matematica"

$int_x^(+oo)theta e^(-theta y)dy=-e^(-theta y)]_x^(+oo)=-0+e^(-theta x)=e^(-theta x)$


2) soluzione "Statistica"

sai bene che $F_Y(x)=mathbb{P}[Y<=x]=int_0^(x)theta e^(-theta y)dy=1-e^(-theta x)$ e quindi è evidente che

$int_x^(+oo)theta e^(-theta y)dy=1-int_0^(x)theta e^(-theta y)dy=1-[1-e^(-theta x)]=e^(-theta x)$

[alessandromagno08]

"tommik":1) soluzione "Matematica" [cut]

Grazie come sempre tommik!!!

Solo una precisazione, $-e^((-theta)*(+infty))$ va affrontato così: la funzione diventa $-e^-infty$ equivale a $(1/e)^infty$, quindi il grafico della funzione verso da destra va verso lo zero... giusto?