Funzione integrale:integrale elementare o no?
Avrei da studiare questa funzione integrale:
$int_0^sinx e^(t^2)dt$
Il seguente integrale è integrabile elementarmente?Me lo chiedo perchè poi dovrei risolvere i limiti o meglio il limite $lim_(x to +oo) int_0^sinx e^(t^2)dt$. Io conosco l'integrale:
$int_-oo^(+oo) e^(-t^2) dt=sqrt(pi)$
$int_0^sinx e^(t^2)dt$
Il seguente integrale è integrabile elementarmente?Me lo chiedo perchè poi dovrei risolvere i limiti o meglio il limite $lim_(x to +oo) int_0^sinx e^(t^2)dt$. Io conosco l'integrale:
$int_-oo^(+oo) e^(-t^2) dt=sqrt(pi)$
Risposte
"mazzy89":
Avrei da studiare questa funzione integrale:
$int_0^sinx e^(t^2)dt$
Il seguente integrale è integrabile elementarmente?Me lo chiedo perchè poi dovrei risolvere i limiti o meglio il limite $lim_(x to +oo) int_0^sinx e^(t^2)dt$. Io conosco l'integrale:
$int_-oo^(+oo) e^(-t^2) dt=sqrt(pi)$
Ho trovato il modo per risolverlo. Basta effettuare la sostituzione $t^2=-y^2$ e poi ricondurlo all'integrale proposto. Correggetemi se sbaglio
L'unico dubbio che ho riguarda l'estremo superiore di integrazione... come la metti con $sinx$, se devi trovare il limite per $x->oo$? Probabilmente non c'è problema, sono io che mi "perdo" qualcosa...
Allora ho alcuni dubbi sullo studio della funzione:
la funzione $F(x)=int_0^sinx e^(t^2)dt$ è definita per $x in [0,2pi]$. Passa per l'origine. E' dispari: $F(-x)=int_0^sin(-x) e^(t^2)dt=-int_sinx^0 e^(t^2)dt$. A questo punto studiamo i limiti e la domanda mi sorge spontanea. I limiti vanno studiati per $x to +oo$ e $x to -oo$ oppure per $x to 0$ e $x to 2pi$?
la funzione $F(x)=int_0^sinx e^(t^2)dt$ è definita per $x in [0,2pi]$. Passa per l'origine. E' dispari: $F(-x)=int_0^sin(-x) e^(t^2)dt=-int_sinx^0 e^(t^2)dt$. A questo punto studiamo i limiti e la domanda mi sorge spontanea. I limiti vanno studiati per $x to +oo$ e $x to -oo$ oppure per $x to 0$ e $x to 2pi$?
Ragionando per 1 secondo in più la funzione $sinx$ è periodica di periodo $2pi$ e questo è elementare.Essa assume valori compresi tra $[-1,1]$. Perciò se il mio ragionamento non è sbagliato non ha alcun senso fare il limite $lim_(x to +-oo) int_0^sinx e^(t^2)dt$
poi esegundo la derivata prima si ha:
$F'(x)=e^(sin^2x)*cosx$
questa risulta crescente per $-pi/2+2kpi
eseguendo la derivata seconda si ha:
$F''(x)=e^(sin^2x)*(2sinxcos^2x-sinx)$
per trovare la concavità basta studiare:
$2sinxcos^2x-sinx>0$
Se non ricordo male dai miei precendenti studi di trigonometria questa si studia:
$sinx(2cos^2x-1)>0$
$senx>0$
$2cos^2x-1>0$
La prima risulta positiva in: $0
il risultato è: convavità verso il basso negli intervalli: $pi/4(3pi)/4$
Ma nel grafico ottenuto tramite derive non corrisponde la concavità.Avrò sbagliato qualche qualcolo nella derivata seconda?
$F'(x)=e^(sin^2x)*cosx$
questa risulta crescente per $-pi/2+2kpi
eseguendo la derivata seconda si ha:
$F''(x)=e^(sin^2x)*(2sinxcos^2x-sinx)$
per trovare la concavità basta studiare:
$2sinxcos^2x-sinx>0$
Se non ricordo male dai miei precendenti studi di trigonometria questa si studia:
$sinx(2cos^2x-1)>0$
$senx>0$
$2cos^2x-1>0$
La prima risulta positiva in: $0
il risultato è: convavità verso il basso negli intervalli: $pi/4
Ma nel grafico ottenuto tramite derive non corrisponde la concavità.Avrò sbagliato qualche qualcolo nella derivata seconda?
Poichè $e^(t^2)$ è sempre positivo quell'integrale cotinua a cambiare segno perchè $sin(x)$ lo fa. Il limite non esiste.
E riguardo alla derivata seconda qualcuno mi sa dire qualcosa?dato che non mi corrispondono i calcoli dal grafico
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