(funzione integrale)^2
Salve a tutti, io ho trovato appunto una funzione integrale al quadrato in un limite, ma la nostra prof ci ha solo insegnato a derivare e non ad operare sulle funzioni integrali.
Ora io so la funzione integrale è per l'appunto una funzione ma espressa con il simbolo di integrale non so proprio come fare per calcolarne il quadrato!
Un grazie a chi mi vorrà aiutare
Ora io so la funzione integrale è per l'appunto una funzione ma espressa con il simbolo di integrale non so proprio come fare per calcolarne il quadrato!
Un grazie a chi mi vorrà aiutare
Risposte
Benvenut* tra noi.
Ti consiglio di postare direttamente il testo dell'esercizio.
Grazie.
Ti consiglio di postare direttamente il testo dell'esercizio.
Grazie.
Allora l'esercizio da fare è questo:
Data la funzione integrale $ F(x)= int_(0)^(x) (2-3t)/ln (10-t^2) dt $
calcolare $lim_(x -> 0^+) {F(x)}^2/(e^{x/2} -cosh sqrt(x) )$
Ripeto che il mio problema consiste solamente nel calcolare ${F(x)}^2$ (nel senso che non so proprio co sa devo fare)
E grazie per il benvenuto!!
Data la funzione integrale $ F(x)= int_(0)^(x) (2-3t)/ln (10-t^2) dt $
calcolare $lim_(x -> 0^+) {F(x)}^2/(e^{x/2} -cosh sqrt(x) )$
Ripeto che il mio problema consiste solamente nel calcolare ${F(x)}^2$ (nel senso che non so proprio co sa devo fare)
E grazie per il benvenuto!!
Ah se poi qualcuno conoscesse anche un sito dove ci siano questo tipo di esercizi gliene sarei grato!
"lion21":
Allora l'esercizio da fare è questo:
Data la funzione integrale $ F(x)= int_(0)^(x) (2-3t)/ln (10-t^2) dt $
calcolare $lim_(x -> 0^+) {F(x)}^2/(e^{x/2} -cosh sqrt(x) )$
Ripeto che il mio problema consiste solamente nel calcolare ${F(x)}^2$ (nel senso che non so proprio co sa devo fare)
E grazie per il benvenuto!!
Puoi utilizzare de L'Hopital, ricordando poi la definizione di funzione integrale!
Cioè a me facendo la derivata di verrebbe $2*F(x) *F'(x) $ , così riamrrebbe l'integrale e de l'hopital non parla di derivate seconde; e anche se fosse verrebbe un casino!
vi prego rispondete ...... non voglio sapere come fare tutte l'esercizio ma solo con quell'elevamento al quadrato vi prego
Allora, hai provato con Taylor?
Mi sembra una strada promettentissima.
Infatti intorno a [tex]$0$[/tex] si ha:
[tex]$e^{\frac{x}{2}} =1+\frac{x}{2} +\frac{1}{8} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex]
[tex]$\cosh \sqrt{x} =1+\frac{x}{2} +\frac{1}{24} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex]
(usando le serie note dell'esponenziale e del coseno iperbolico), sicché:
[tex]$e^{\frac{x}{2}} -\cosh \sqrt{x} =\frac{1}{12} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex].
D'altra parte sviluppando [tex]$F(x)$[/tex] al primo ordine intorno a [tex]$0$[/tex] ottieni:
[tex]$F(x) = F^\prime (0)\ x +\text{o}(x) =\left[ \frac{2-3x}{\ln (10-x^2)} \right]_{x=0} \ x +\text{o}(x) =\frac{2}{\ln 10} \ x +\text{o}(x)$[/tex]
quindi per [tex]$F^2 (x)$[/tex] si ha al secondo ordine:
[tex]$F^2 (x)=\left( \frac{2}{\ln 10} \ x +\text{o}(x) \right)^2= \frac{4}{\ln^2 10} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{F^2(x)}{e^{\frac{x}{2}}- \cosh \sqrt{x}} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{4}{\ln^2 10} \ x^2 +\text{o}(x^2)}{\frac{1}{12} \ x^2 +\text{o}(x^2)} = \frac{48}{\ln^2 10} \sim 9.05$[/tex].
Bello, eh?
Mi sembra una strada promettentissima.
Infatti intorno a [tex]$0$[/tex] si ha:
[tex]$e^{\frac{x}{2}} =1+\frac{x}{2} +\frac{1}{8} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex]
[tex]$\cosh \sqrt{x} =1+\frac{x}{2} +\frac{1}{24} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex]
(usando le serie note dell'esponenziale e del coseno iperbolico), sicché:
[tex]$e^{\frac{x}{2}} -\cosh \sqrt{x} =\frac{1}{12} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex].
D'altra parte sviluppando [tex]$F(x)$[/tex] al primo ordine intorno a [tex]$0$[/tex] ottieni:
[tex]$F(x) = F^\prime (0)\ x +\text{o}(x) =\left[ \frac{2-3x}{\ln (10-x^2)} \right]_{x=0} \ x +\text{o}(x) =\frac{2}{\ln 10} \ x +\text{o}(x)$[/tex]
quindi per [tex]$F^2 (x)$[/tex] si ha al secondo ordine:
[tex]$F^2 (x)=\left( \frac{2}{\ln 10} \ x +\text{o}(x) \right)^2= \frac{4}{\ln^2 10} \ x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{F^2(x)}{e^{\frac{x}{2}}- \cosh \sqrt{x}} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{4}{\ln^2 10} \ x^2 +\text{o}(x^2)}{\frac{1}{12} \ x^2 +\text{o}(x^2)} = \frac{48}{\ln^2 10} \sim 9.05$[/tex].
Bello, eh?
Grazie te ne sarò riconoscente per il resto della mia vita!!!!!!!!!!
GRAZIE GRAZIE GRAZIE!!!!!!!!!
Dovevo solo capire che per fare ${F(x)}^2$ bisognava sviluppare taylor al secondo ordine e questo proprio non mi era passato epr l'anticamera del cervello!(i consigli di Enrico84 sono stati furovianti!)
gugo82 GRAZIE ANCORA!
GRAZIE GRAZIE GRAZIE!!!!!!!!!
Dovevo solo capire che per fare ${F(x)}^2$ bisognava sviluppare taylor al secondo ordine e questo proprio non mi era passato epr l'anticamera del cervello!(i consigli di Enrico84 sono stati furovianti!)
gugo82 GRAZIE ANCORA!
Prego.
In verità ero indeciso se postare una soluzione completa o solo un suggerimento (come faccio di solito col mio primo intervento in una discussione).
Però è la prima volta, a mia memoria, che si affronta un limite contenente una potenza d'una funzione integrale, quindi mi è sembrato giusto postare una soluzione che potesse servire da riferimento per le prossime eventuali occasioni.
Grazie a te per aver posto la domanda (e per il PM), buono studio.
In verità ero indeciso se postare una soluzione completa o solo un suggerimento (come faccio di solito col mio primo intervento in una discussione).
Però è la prima volta, a mia memoria, che si affronta un limite contenente una potenza d'una funzione integrale, quindi mi è sembrato giusto postare una soluzione che potesse servire da riferimento per le prossime eventuali occasioni.
Grazie a te per aver posto la domanda (e per il PM), buono studio.
io non ho capito bene una cosa, visto che l'integrale è in dt perchè dopo l'incognita diventa x? cioè qual è il passaggio che ci porta ad averla dall'estremo dell'integrale proprio dentro la funzione? e cosa ce ne facciamo dello 0 sul secondo estremo dell'integrale?
Penso tu ti stia riferendo a questo.
In poche parole: data una funzione integrale $F(x)=int_a^xf(t)dt$, dove $f(t)$ è continua in $[a,b]$, allora $F(x)$ è derivabile e $forall x in [a,b]$ si ha
$F'(x)=f(x)$.
La derivata di una funzione integrale è l'integranda calcolata nell'estremo superiore di integrazione (deve essere quello variabile, che contiene la $x$ per intenderci).
In poche parole: data una funzione integrale $F(x)=int_a^xf(t)dt$, dove $f(t)$ è continua in $[a,b]$, allora $F(x)$ è derivabile e $forall x in [a,b]$ si ha
$F'(x)=f(x)$.
La derivata di una funzione integrale è l'integranda calcolata nell'estremo superiore di integrazione (deve essere quello variabile, che contiene la $x$ per intenderci).
molto chiaro ...ora non vorrei fare brutte figure ma mi ricorda molto il teorema di Lagrange
...ora non vorrei fare brutte figure ma mi ricorda molto il teorema di Lagrange
"ballo":
molto chiaro
No, non penso.
Discende abbastanza velocemente dal teorema della media integrale (nella versione in cui te l'ho riportato io).
Esiste comunque una versione più forte del Th Fondamentale del Calcolo (una versione locale, non globale) la cui dimostrazione non richiede il th della media.
In realtà i teoremi di cui stiamo parlando (di Lagrange, fondamentale del calcolo integrale, della media integrale) sono tante facce della stessa medaglia. Se se ne assume vero uno, da esso discendono gli altri; e sono tutti casi particolari dei teoremi sui polinomi di Taylor, con resto di Lagrange oppure con resto integrale.
va bene. Comunque sia ho lo stesso identico esercizio da affrontare in un'autovalutazione, solo che la domanda di risolvere il limite è la seconda, mentre la prima mi chiede di trovare il polinomio di Mac Laurin al secondo grado di quell'integrale. Non dovrei calcolare la derivata seconda e fare
$f'(0)x + f''(0)x^2/2+o(x^2)$?
questo è quello che mi chiede la domanda: scrivere il polinomio di Mac Laurin di secondo grado che approssima F(x) in un intorno di x = 0
$f'(0)x + f''(0)x^2/2+o(x^2)$?
questo è quello che mi chiede la domanda: scrivere il polinomio di Mac Laurin di secondo grado che approssima F(x) in un intorno di x = 0
Dissonance, scusami, sarà che sono stanco, ma mi sfugge il legame tra Lagrange e la media integrale (o il TFC): in che senso dici che sono facce della stessa medaglia?
Potresti dilungarti un po' di più su quanto hai affermato prima, per piacere? Mi incuriosisce la questione...
Ti ringrazio.
Potresti dilungarti un po' di più su quanto hai affermato prima, per piacere? Mi incuriosisce la questione...
Ti ringrazio.
E lo sapevo che ti incuriosiva, per questo l'ho detto! Assumi vero il teorema di Lagrange. Con questo ti dimostri il TFC, così. Viceversa assumi vero il TFC. Hai allora che "l'incremento finito si ottiene integrando gli incrementi infinitesimi" [size=75](*)[/size]:
$f(x_0+h)-f(x_0)=int_{x_0}^{x_0+h}f'(t)"d"t$;
che unito al teorema della media, ti dà il teorema di Lagrange. E sono possibili anche altre combinazioni, adesso purtroppo sono paurosamente stanco (colpa della Fisica su cui ho speso buona parte della giornata, e si vede: vedi un po' cosa ho scritto qua [size=75](*)[/size]!) e non mi sovvengono, ma ricordo di aver passato una mattinata, una volta, a dimostrare che questi tre enunciati sono equivalenti. Questo non vuol dire che all'epoca non mi possa essere sbagliato, naturalmente! Non mi prendere troppo sul serio.
La cosa più importante, comunque, è l'equivalenza TFC <=> Lagrange. In realtà non è una vera e propria equivalenza perché il TFC funziona solo con le funzioni $C^1$, mentre Lagrange richiede la sola derivabilità. Per questo avevo sempre pensato che il teorema di Lagrange fosse preferibile; non sapevo quanto mi sbagliavo. Infatti il teorema di Lagrange (e anche quello della media) fallisce se le funzioni non hanno valori reali, mentre il TFC opportunamente esteso è vero anche per funzioni definite in un intervallo e a valori in uno spazio infinito dimensionale! Su un libro di Serge Lang ho letto che il TFC dovrebbe essere usato come riflesso condizionato.
Vabbé, la smetto, questo OT è durato anche troppo. Spero di non averti confuso le idee!
$f(x_0+h)-f(x_0)=int_{x_0}^{x_0+h}f'(t)"d"t$;
che unito al teorema della media, ti dà il teorema di Lagrange. E sono possibili anche altre combinazioni, adesso purtroppo sono paurosamente stanco (colpa della Fisica su cui ho speso buona parte della giornata, e si vede: vedi un po' cosa ho scritto qua [size=75](*)[/size]!) e non mi sovvengono, ma ricordo di aver passato una mattinata, una volta, a dimostrare che questi tre enunciati sono equivalenti. Questo non vuol dire che all'epoca non mi possa essere sbagliato, naturalmente! Non mi prendere troppo sul serio.
La cosa più importante, comunque, è l'equivalenza TFC <=> Lagrange. In realtà non è una vera e propria equivalenza perché il TFC funziona solo con le funzioni $C^1$, mentre Lagrange richiede la sola derivabilità. Per questo avevo sempre pensato che il teorema di Lagrange fosse preferibile; non sapevo quanto mi sbagliavo. Infatti il teorema di Lagrange (e anche quello della media) fallisce se le funzioni non hanno valori reali, mentre il TFC opportunamente esteso è vero anche per funzioni definite in un intervallo e a valori in uno spazio infinito dimensionale! Su un libro di Serge Lang ho letto che il TFC dovrebbe essere usato come riflesso condizionato.
Vabbé, la smetto, questo OT è durato anche troppo. Spero di non averti confuso le idee!
Anzitutto, dissonance, ti ringrazio molto per avermi "illuminato".
Sei come al solito impeccabile quanto a chiarezza e precisione. Grazie anche per aver postato l'osservazione (mi conosci fin troppo bene, già sapevi che mi avrebbe incuriosito!).
Ti ringrazio, davvero.
Ho letto e dovrebbe essere tutto chiaro. Wow!
Grazie ancora.
Sei come al solito impeccabile quanto a chiarezza e precisione. Grazie anche per aver postato l'osservazione (mi conosci fin troppo bene, già sapevi che mi avrebbe incuriosito!).
Ti ringrazio, davvero.
Ho letto e dovrebbe essere tutto chiaro. Wow!
Grazie ancora.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo