Funzione integrale, stabilire insieme di definizione
Sto leggendo il capitolo sulle funzioni integrali sul mio libro. Per capire, ho considerato il seguente esercizio di esempio:
$F(x)=int_(-1)^(x) dt/(t*root(3)(t-1)$.
L'integranda è illimitata nell'intorno $t=1$, ed è anche integrabile, mentre nell'intorno di $t=0$ non è integrabile.
Se faccio il limite per $t->1$ di $f(t)$, si vede rapidamente che viene $1/0->oo$, perciò illimitata. Ma come faccio a capire che è integrabile senza fare tutto il calcolo dell'integrale, che è abbastanza lungo e laborioso? Per scrupolo l'ho fatto, e (quello indefinito) viene:
$1/2ln(|(root(3)((t-1)))^2 - root(3)((t-1)) + 1|) - ln(|root(3)((t-1))+1|)+sqrt(3) arctan(-1/sqrt(3))$
Perciò in quello definito, per $t->1$ rimane solo l' $arctan$ mentre i logaritmi si annullano, ma è comunque integrabile poiché il limite esiste ed è finito.
Ci sono dei criteri per stabilire l'esistenza del limite dell'integrale e l'effettiva integrabilità che posso applicare per velocizzare la risoluzione? Forse dovrei studiare la convergenza o divergenza della funzione integranda?
$F(x)=int_(-1)^(x) dt/(t*root(3)(t-1)$.
L'integranda è illimitata nell'intorno $t=1$, ed è anche integrabile, mentre nell'intorno di $t=0$ non è integrabile.
Se faccio il limite per $t->1$ di $f(t)$, si vede rapidamente che viene $1/0->oo$, perciò illimitata. Ma come faccio a capire che è integrabile senza fare tutto il calcolo dell'integrale, che è abbastanza lungo e laborioso? Per scrupolo l'ho fatto, e (quello indefinito) viene:
$1/2ln(|(root(3)((t-1)))^2 - root(3)((t-1)) + 1|) - ln(|root(3)((t-1))+1|)+sqrt(3) arctan(-1/sqrt(3))$
Perciò in quello definito, per $t->1$ rimane solo l' $arctan$ mentre i logaritmi si annullano, ma è comunque integrabile poiché il limite esiste ed è finito.
Ci sono dei criteri per stabilire l'esistenza del limite dell'integrale e l'effettiva integrabilità che posso applicare per velocizzare la risoluzione? Forse dovrei studiare la convergenza o divergenza della funzione integranda?
Risposte
Devi confrontare il tuo integrale generalizzato con le famiglie di integrali generalizzati note, in particolare in questo caso con
$$
\int_a^{+\infty}\frac{1}{t^\alpha}dt
$$
e
$$
\int_a^{k}\frac{1}{(t-k)^\alpha}dt
$$
dove la prima si comporta come una serie geometrica cioè converge se $\alpha>1$ e diverge altrimenti, mentre la seconda si comporta all'opposto, diverge se $\alpha>1$ e converge altrimenti.
Infine quando dico confrontare intendo per lo più il confronto asintotico, infatti si può dimostra che se $f(x)\approx g(x)$ allora $\int f(x)dx \approx \int g(x) dx$
Sono stato un po' sbrigativo, ma spero di esser stato chiaro.
$$
\int_a^{+\infty}\frac{1}{t^\alpha}dt
$$
e
$$
\int_a^{k}\frac{1}{(t-k)^\alpha}dt
$$
dove la prima si comporta come una serie geometrica cioè converge se $\alpha>1$ e diverge altrimenti, mentre la seconda si comporta all'opposto, diverge se $\alpha>1$ e converge altrimenti.
Infine quando dico confrontare intendo per lo più il confronto asintotico, infatti si può dimostra che se $f(x)\approx g(x)$ allora $\int f(x)dx \approx \int g(x) dx$
Sono stato un po' sbrigativo, ma spero di esser stato chiaro.
"Bossmer":
...mentre la seconda si comporta all'opposto, diverge se $\alpha>1$ e converge altrimenti.
$>=$
Okay, perció se l’integranda converge, allora l’integrale sicuramente esiste (e quindi la funzione é integrabile)?
Mentre se diverge non esiste l’integrale, giusto?
Mentre se diverge non esiste l’integrale, giusto?
no assolutamente no!
ti devi approcciare all'esistenza (che è sinonimo di convergenza) degli integrali generalizzati esattamente come ti approcciavi con lo studio delle serie, ad eccezione del fatto che non puoi in questo caso utilizzare i criteri delle radice e del rapporto che utilizzavi con le serie...
Tu parti da due o tre famiglie note di integrali generalizzati, per le quali hai scoperto quando convergono (banalmente risolvendo l'integrale e facendo il limite) e poi con il criterio del confronto asintotico ( e altri criteri di confronto) , confronti appunto il tuo integrale con un integrale appartenente a una famiglia di integrali di cui conosci il comportamento.
In ogni caso ti consiglio di leggere il libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi dove l'argomento viene spiegato in maniera abbastanza chiara nel paragrafo "integrale improprio" del capitolo sull'integrazione.
ti devi approcciare all'esistenza (che è sinonimo di convergenza) degli integrali generalizzati esattamente come ti approcciavi con lo studio delle serie, ad eccezione del fatto che non puoi in questo caso utilizzare i criteri delle radice e del rapporto che utilizzavi con le serie...
Tu parti da due o tre famiglie note di integrali generalizzati, per le quali hai scoperto quando convergono (banalmente risolvendo l'integrale e facendo il limite) e poi con il criterio del confronto asintotico ( e altri criteri di confronto) , confronti appunto il tuo integrale con un integrale appartenente a una famiglia di integrali di cui conosci il comportamento.
In ogni caso ti consiglio di leggere il libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi dove l'argomento viene spiegato in maniera abbastanza chiara nel paragrafo "integrale improprio" del capitolo sull'integrazione.
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