Funzione integrale particolare (divergente all'infinito)
Signori, mi sono inceppato in altro studio di funzione:
$ \int_0^{x}{t\log|t+2|}/(1+t^2) \ dt $
All' infinito l'integranda diverge.
Posso immaginare che lo studio debba essere in $ ]-2,\ 0\ [ $.
Qualche idea ?
$ \int_0^{x}{t\log|t+2|}/(1+t^2) \ dt $
All' infinito l'integranda diverge.
Posso immaginare che lo studio debba essere in $ ]-2,\ 0\ [ $.
Qualche idea ?
Risposte
Come giustichi l'intervallo di studio? Ad occhio, direi che il dominio della funzione integrale è $\mathbb{R}$.
"Gandalf73":
All' infinito l'integranda diverge.
Questo è falso. È:
$$\lim_{t \to \infty} \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}=\lim_{t \to \infty} \frac{t\log(t+2)}{t^2\left(\frac{1}{t^2}+1\right)}=\lim_{t \to \infty} \frac{\log t+\log\left(1+\frac{2}{t}\right)}{t\left(\frac{1}{t^2}+1\right)}=\lim_{t \to \infty}\frac{\frac{\log t}{t}+\frac{\log\left(1+\frac{2}{t}\right)}{t}}{\frac{1}{t^2}+1}=0$$
E anche per $t \to -\infty$ il limite è $0$.
Comunque, sapremmo esserti più utili se ci specificassi cosa non ti torna e come mai non ti torna (ossia, cosa hai provato a fare in quei contesti in cui hai dubbi).
Grazie pillo.
Non mi torna il comportamento della funzione tra 0 e -2 ossia quando l'argomento del log va a zero...come debbo spezzare lo studio.
Pillo scusa ma a zero se non erro non ci va come x o sbaglio?Quindi la funzione integrale all'infinito non diverge o meglio tende all'infinito?
Non mi torna il comportamento della funzione tra 0 e -2 ossia quando l'argomento del log va a zero...come debbo spezzare lo studio.
Pillo scusa ma a zero se non erro non ci va come x o sbaglio?Quindi la funzione integrale all'infinito non diverge o meglio tende all'infinito?
"Gandalf73":
Pillo scusa ma a zero se non erro non ci va come x o sbaglio?
Confondi qualcuno con pilloeffe, ma lui non è mai intervenuto in questa discussione (per ora
). Comunque, no. Dato che $f$ è continua $[0,x]$ ad esempio se $|x|\le 1$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale hai che:$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t-\int_0^0 \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t}{x-0}$$
$$=\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_0^x \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t \right]_{x=0}=\left[\frac{x\log|x+2|}{1+x^2}\right]_{x=0}=0$$
"Gandalf73":
Quindi la funzione integrale all'infinito non diverge o meglio tende all'infinito?
Non ti sto seguendo. Perché ora parli di funzione integrale quando nel primo messaggio hai detto "funzione integranda" (te l'ho quotato)? Perché ora parli dell'andamento in $0$ se prima chiedevi di come andava all'infinito (quale delle due poi, funzione integranda o funzione integrale?). Dovresti scrivere con più cura i tuoi messaggi, altrimenti non riusciamo ad aiutarti perché non riusciamo a capirti.
Ciao scusami per quanto riguarda il nick ho letto pillo da qualche parte e ho risposto con quel nick curando solo il procedimento usato per far vedere che va a zero.
Veniamo all'esercizio.
Dovendo studiare la funzione integrale e trattandosi di integrale "improprio" ne verificavo il comportamento all'infinito "testando" con quale ordine tende a zero.Andando poi a vedere altre singolarità qualora vi fossero.
Da qui poi....studio della derivata prima etc etc...
Veniamo all'esercizio.
Dovendo studiare la funzione integrale e trattandosi di integrale "improprio" ne verificavo il comportamento all'infinito "testando" con quale ordine tende a zero.Andando poi a vedere altre singolarità qualora vi fossero.
Da qui poi....studio della derivata prima etc etc...
Studiamo la convergenza in $x=-2$. Poniamo $t=-s$:
$$\int_0^{-2} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t=\int_0^2 \frac{-s \log|-s+2|}{1+(-s)^2}(-\text{d}s)=\int_0^2 \frac{s \log(2-s)}{1+s^2}\text{d}s$$
Studiamo la convergenza assoluta dell'ultimo integrale. Dato che $1+s^2 \ge 1$ ed $s|log(2-s)| \ge 0$ per ogni $s\in[0,2)$, si ha:
$$\int_0^2 \frac{s |\log(2-s)|}{1+s^2}\text{d}s \le \int_0^2 s |\log(2-s)|\text{d}s=\int_0^1 s \log(2-s)\text{d}s-\int_1^2 s \log(2-s)\text{d}s$$
Gli ultimi due integrali si calcolano esplicitamente (procedendo per parti), e la loro differenza converge per $s \to 2$. Perciò, l'integrale converge assolutamente in $[0,-2]$ e dunque converge anche senza modulo; quindi, dato che $t \mapsto \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}$ è continua per ogni $t\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, la funzione integrale è definita su tutto $\mathbb{R}$ (in accordo con quanto detto da Mathita).
Ora, se vuoi, puoi provare a calcolare i limiti per $x \to \infty$ e per $x \to -\infty$. Come dicevi, ciò significa studiare la convergenza degli integrali impropri:
$$\int_0^{\infty} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t$$
$$\int_0^{-\infty} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t$$
Se hai dubbi, scrivi pure qui!
$$\int_0^{-2} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t=\int_0^2 \frac{-s \log|-s+2|}{1+(-s)^2}(-\text{d}s)=\int_0^2 \frac{s \log(2-s)}{1+s^2}\text{d}s$$
Studiamo la convergenza assoluta dell'ultimo integrale. Dato che $1+s^2 \ge 1$ ed $s|log(2-s)| \ge 0$ per ogni $s\in[0,2)$, si ha:
$$\int_0^2 \frac{s |\log(2-s)|}{1+s^2}\text{d}s \le \int_0^2 s |\log(2-s)|\text{d}s=\int_0^1 s \log(2-s)\text{d}s-\int_1^2 s \log(2-s)\text{d}s$$
Gli ultimi due integrali si calcolano esplicitamente (procedendo per parti), e la loro differenza converge per $s \to 2$. Perciò, l'integrale converge assolutamente in $[0,-2]$ e dunque converge anche senza modulo; quindi, dato che $t \mapsto \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}$ è continua per ogni $t\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, la funzione integrale è definita su tutto $\mathbb{R}$ (in accordo con quanto detto da Mathita).
Ora, se vuoi, puoi provare a calcolare i limiti per $x \to \infty$ e per $x \to -\infty$. Come dicevi, ciò significa studiare la convergenza degli integrali impropri:
$$\int_0^{\infty} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t$$
$$\int_0^{-\infty} \frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t$$
Se hai dubbi, scrivi pure qui!
@Meph:grazie per il prezioso dettaglio.A me sembra che i due integrali divergono.Quindi l'integrale eventualmente da calcolare è tra 0 e 2 (per completare lo studio della funzione integrale oltre la discussione sulla derivata prima.Sbaglio qualcosa?
"Gandalf73":
Quindi l'integrale eventualmente da calcolare è tra 0 e 2
Beh, te l'ha già fatto vedere Mephlip cosa accade...
$\int_0^{- 2} (t log|t+2|)/(1 + t^2) \text{d}t = - 0,323799 $
@pillo: grazie confermi quindi che occorre come calcolo quello a cui ero pervenuto (gli altri integrali divergono e quindi la funzione integrale tende ad infinito..all'infinito. Poi da vedere se con asintoto obliquo....). Immagino xrò che dobbiamo ricondurci attraverso manipolazioni varie a qualcosa che abbia a che fare con la polilogaritmica che abbiamo trattato in altro post..che ne pensi?
Numerico ok...lo piazzo in pasto a qualche tool ed esce il valore.
Qui occorre qualche magheggio algebrico per arrivare a qualcosa di "simbolico".Corretto?
Numerico ok...lo piazzo in pasto a qualche tool ed esce il valore.
Qui occorre qualche magheggio algebrico per arrivare a qualcosa di "simbolico".Corretto?
Sì, divergono, ma io ho detto un'altra cosa: ho detto che la loro differenza converge. Anche $n$ e $-n$ divergono per $n\to\infty$, ma la loro differenza $n-n=0$ converge a $0$ per $n\to\infty$ essendo una successione costante.
In pratica, devi calcolare l'integrale improprio con la definizione:
$$\int_0^2 s \log(2-s)\text{d}s=\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_0^{2-\epsilon} s \log(2-s)\text{d}s$$
In pratica, devi calcolare l'integrale improprio con la definizione:
$$\int_0^2 s \log(2-s)\text{d}s=\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_0^{2-\epsilon} s \log(2-s)\text{d}s$$
@Meph:aspetta, non ti ho seguito nel ragionamento.Noi abbiamo ipotetitcamente spezzato la funzione in vari tronconi.Se x tende all'infinito (+/- che sia), la funzione integrale diverge.
Rimaniamo quindi con l'integrale tra 0 e -2 che hai scritto sopra in cui si è dimostrata la convergenza nel punto singolare con una maggiorazione.(non calcolato bensì maggiorato)
Adesso non ti seguo sulla differenza quando x tende all'infinito.Sorry ma forse ho fatto un po di confusione...
Rimaniamo quindi con l'integrale tra 0 e -2 che hai scritto sopra in cui si è dimostrata la convergenza nel punto singolare con una maggiorazione.(non calcolato bensì maggiorato)
Adesso non ti seguo sulla differenza quando x tende all'infinito.Sorry ma forse ho fatto un po di confusione...
Ah ok, pensavo ti riferissi ai due integrali tra $0$ e $1$ e tra $1$ e $2$, mentre invece ti riferivi a quelli per $x \to \infty$ e $x\to-\infty$. Scusa il fraintendimento.
Comunque, a meno che tu non conosca gli integrali impropri notevoli con funzione integranda $\frac{1}{x^a \log^b x}$, l'integrale con cui ho maggiorato va calcolato per poter stabilire che converge (perché la funzione integranda $s\log(2-s)$ è illimitata per $s \to 2$).
Comunque, a meno che tu non conosca gli integrali impropri notevoli con funzione integranda $\frac{1}{x^a \log^b x}$, l'integrale con cui ho maggiorato va calcolato per poter stabilire che converge (perché la funzione integranda $s\log(2-s)$ è illimitata per $s \to 2$).
@Meph: quindi abbiamo il calcolo di un integrale esatto che mi consente di maggiorare quello di partenza per dimostrarne la convergenza:
$ \int_0^2 \frac{s \log(2-s)}{1+s^2}\text{d}s \ $
e poi a valle, tutti gli studi della derivata prima, seconda (se non è impossibile) ed infine una valutazione per capire se vi sono asintoti obliqui.
Il problema è come arrivare, manipolando l'integranda , alla polilogaritmica (se ci si riesce).
Errato?
$ \int_0^2 \frac{s \log(2-s)}{1+s^2}\text{d}s \ $
e poi a valle, tutti gli studi della derivata prima, seconda (se non è impossibile) ed infine una valutazione per capire se vi sono asintoti obliqui.
Il problema è come arrivare, manipolando l'integranda , alla polilogaritmica (se ci si riesce).
Errato?
[ot]Sono un po' perplesso e confuso da questa discussione e non dalle risposte di mephlip o di Pilloeffe. È la "conduzione" di Gandalf73 che, a parere mio, è poco chiara. Non me ne volere, Gandalf, ma faccio davvero fatica a seguire i ragionamenti che fai. Me ne assumo la colpa, anche perché gli altri riescono a seguirti: il problema è tutto mio.[/ot]
@Gandalf73: Partendo dal presupposto che le cose si fanno soprattutto se servono a qualcosa, il segno e gli zeri della derivata prima sono semplici da studiare. I limiti all'infinito sono semplici da studiare (e l'abbiamo già fatto). Anche determinare l'esistenza o no dell'asintoto obliquo è facile, non serve alcuna polilogaritmica. Devi calcolare:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\int_0^x \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t}{x}$$
Come si calcolano questi limiti con funzioni integrali? Non serve nessuna funzione speciale, almeno in questo caso.
Questo basta per avere un grafico qualitativo più o meno decente. Servono davvero i flessi? La derivata seconda sembra noiosa da studiare, probabilmente andrebbe fatto un altro studio di funzione solo per quella; tra l'altro, ci sarebbe anche da stabilire dove $f'$ è derivabile (non che sia difficile, ma è importante sapere usare i teoremi di regolarità). Quindi, personalmente, mi fermerei qui nello studio della funzione integrale proposta.
Che ci fai con la fantomatica polilogaritmica in tutto questo? Ti consiglio, in generale, di riportare esplicitamente la traccia del problema e, se il problema non l'hai trovato su un testo/esame, potrebbe anche succedere che sia difficile/mal posto. Quindi, se il corso che hai seguito ha trattato funzioni speciali e la loro applicazione a questi problemi se ne può parlare, altrimenti mi sembra solo complicarsi la vita.
@Mathita
[ot]Sono d'accordo con te, ho fatto fatica e sto facendo ancora fatica sia per il linguaggio improprio sia per capire dove vogliamo arrivare. Sto cercando di riportare la discussione verso uno studio consono ad un livello di analisi I. Vediamo che succede.[/ot]
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\int_0^x \frac{t\log|t+2|}{1+t^2}\text{d}t}{x}$$
Come si calcolano questi limiti con funzioni integrali? Non serve nessuna funzione speciale, almeno in questo caso.
Questo basta per avere un grafico qualitativo più o meno decente. Servono davvero i flessi? La derivata seconda sembra noiosa da studiare, probabilmente andrebbe fatto un altro studio di funzione solo per quella; tra l'altro, ci sarebbe anche da stabilire dove $f'$ è derivabile (non che sia difficile, ma è importante sapere usare i teoremi di regolarità). Quindi, personalmente, mi fermerei qui nello studio della funzione integrale proposta.
Che ci fai con la fantomatica polilogaritmica in tutto questo? Ti consiglio, in generale, di riportare esplicitamente la traccia del problema e, se il problema non l'hai trovato su un testo/esame, potrebbe anche succedere che sia difficile/mal posto. Quindi, se il corso che hai seguito ha trattato funzioni speciali e la loro applicazione a questi problemi se ne può parlare, altrimenti mi sembra solo complicarsi la vita.
@Mathita
[ot]Sono d'accordo con te, ho fatto fatica e sto facendo ancora fatica sia per il linguaggio improprio sia per capire dove vogliamo arrivare. Sto cercando di riportare la discussione verso uno studio consono ad un livello di analisi I. Vediamo che succede.[/ot]
@Meph & Mat: ok per i limiti. I flessi escono fuori (secondo me) da considerazioni sugli zeri della derivata prima ed i cambi di segno con minimo e massimo della funzione integrale stessa (deducibili).
Per quanto riguarda la discontinuità in -2 , la funzione poly, faceva parte del programma e fu affrontata. Quindi in -2 con manipolazioni algebriche (che in Analisi I si davano per acquisite al tempo) si doveva calcolare (in appelli simili con studi di funzioni integrali simili, fu fatto, senza ricorrere ad altro se non appunto a forme di scrittura che riconducessero all'integrale noto). Non mi arrendo riguardo il calcolo nella discontinuità e troverò il modo di riportarla a qualcosa di già acquisito
Diciamo però che lo studio è completato.
Grazie a tutti
Per quanto riguarda la discontinuità in -2 , la funzione poly, faceva parte del programma e fu affrontata. Quindi in -2 con manipolazioni algebriche (che in Analisi I si davano per acquisite al tempo) si doveva calcolare (in appelli simili con studi di funzioni integrali simili, fu fatto, senza ricorrere ad altro se non appunto a forme di scrittura che riconducessero all'integrale noto). Non mi arrendo riguardo il calcolo nella discontinuità e troverò il modo di riportarla a qualcosa di già acquisito
Diciamo però che lo studio è completato.
Grazie a tutti
Riprendo,
il post che speravo di aver chiuso e completato per provare a dipanare un dubbio che mi è sorto cammin facendo e che i tools numerici mi stanno alimentando.
La funzione integrale postata dovrebbe avere una discontinuità a salto nel punto -2. Ebbene dai vari plots sembra invece di no. Non riesco a spiegarmi il motivo. Qualcuno ha afferrato il motivo del perchè analiticamente quel -2 scompare?
Grazie a tutti.
il post che speravo di aver chiuso e completato per provare a dipanare un dubbio che mi è sorto cammin facendo e che i tools numerici mi stanno alimentando.
La funzione integrale postata dovrebbe avere una discontinuità a salto nel punto -2. Ebbene dai vari plots sembra invece di no. Non riesco a spiegarmi il motivo. Qualcuno ha afferrato il motivo del perchè analiticamente quel -2 scompare?
Grazie a tutti.
A me risulta continua in $x=-2$. Perché dici che "dovrebbe" essere discontinua in $x=-2$? C'è un motivo specifico che te lo suggerisce? Ad esempio: considerazioni teoriche supportate da una motivazione argomentata, oppure la soluzione del problema proposto da parte del testo/docente.
@Meph: considerazioni nella correzione non ne ho perchè era un esercizio di oltre 20 anni fa ripescato tra i miei archivi di vecchi appelli raccolti.
Quello che invece me lo fa pensare è che nello studio, il valore assoluto va tolto e spezzato in due tronconi.
lo studio ANDREBBE fatto come:
$\int_{-2}^{+\infty}\frac{(tlog(t+2))}{(1+t^2)}dt $ $ \ ( t>=-2) $
e
$\int_{-2}^{-\infty}\frac{(tlog(2-t))}{(1+t^2)}dt $ $ \ (t<-2) $
Due funzioni "differenti" che partono da -2.
(ovviamente tra $ ] -2 0 [ $ valgono le considerazioni che sono state fatte nei posts precedenti e con opportune sostituzioni e giochetti algebrici si torna al secondo integrale ma tra $ ]0 2[$ per via dei segni che scompaiono nei vari passaggi).
Spero di non aver scritto corbellerie...nel caso correggimi aiutandomi a togliere un po di "polvere" che gli anni hanno depositato sulle nozioni acquisite.
Quello che invece me lo fa pensare è che nello studio, il valore assoluto va tolto e spezzato in due tronconi.
lo studio ANDREBBE fatto come:
$\int_{-2}^{+\infty}\frac{(tlog(t+2))}{(1+t^2)}dt $ $ \ ( t>=-2) $
e
$\int_{-2}^{-\infty}\frac{(tlog(2-t))}{(1+t^2)}dt $ $ \ (t<-2) $
Due funzioni "differenti" che partono da -2.
(ovviamente tra $ ] -2 0 [ $ valgono le considerazioni che sono state fatte nei posts precedenti e con opportune sostituzioni e giochetti algebrici si torna al secondo integrale ma tra $ ]0 2[$ per via dei segni che scompaiono nei vari passaggi).
Spero di non aver scritto corbellerie...nel caso correggimi aiutandomi a togliere un po di "polvere" che gli anni hanno depositato sulle nozioni acquisite.
In generale, le funzioni definite a tratti possono essere continue nei punti in cui cambiano definizione. Ad esempio:
$$f(x)=\begin{cases} x^2, \ \text{se} \ x<0 \\ x, \ \text{se} \ x \ge 0\end{cases}$$
è definita a tratti e cambia definizione in $x=0$, ma è continua in $x=0$.
Qui c'è un errore:
per $t<-2$, hai che $|t+2|=-(t+2)=-t-2$ e non $2-t$.
Nel nostro caso, per ogni $t> -2$ e per ogni $t <-2$ la funzione integrale è continua perché limitata su ogni compatto contenuto in $(-\infty,-2)$ o contenuto in $(-2, \infty)$; la continuità segue dal fatto che, se l'integranda è limitata in un insieme limitato, allora la funzione integrale è addirittura lipschitziana su tale insieme (ricorda che lipschitziana implica uniforme continua, quindi implica anche continua). Dimostrazione nello spoiler, in caso volessi provare a dimostrarlo per esercizio:
L'unico punto problematico è $x=-2$, perché come abbiamo visto l'integranda è illimitata per $t \to -2$; ti dimostro che la funzione integrale è continua in $x=-2$.
Per la continuità in $x=-2$, ci interessa sapere cosa succede in un intorno, anche piccolo, di $x=-2$. Perciò, dato che $t\log|t+2|\ge 0$ se $t \in [-3,-2) \cup (-2,-1]$, possiamo assumere $|t\log|t+2||=t\log|t+2|$ in un intorno di $x=-2$ sufficientemente piccolo (ad esempio, di semiampiezza $<1$).
Dimostriamo prima la continuità in $x=-2$ da destra, assumendo $-2
$$\le \int_{-2}^x \left|\frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\right| \text{d}t \le \int_{-2}^x |t \log |t+2||\text{d}t=\int_{-2}^x t \log |t+2|\text{d}t$$
Dato che $-2
La funzione $g(x)=\frac{(x+2)[(2x-4)\log(x+2)-x+6]}{4}$ tende a $0$ per $x \to (-2)^+$, perciò prendendo il minimo tra le semiampiezze necessarie per far sì che $|t\log|t+2||=t\log|t+2|$ e per far tendere $g$ a $0$ quando $x \to (-2)^+$, ottieni la continuità destra in $x=-2$.
Rimane da mostrare che per $x \to (-2)^{-}$ si ha che $|F(x)-F(-2)|$ tende ancora a $0$, in tal caso puoi assumere $-3 \le x < -2$ e ragionare similmente essendo ora $|t+2|=-t-2$.
Spero di averti convinto.
$$f(x)=\begin{cases} x^2, \ \text{se} \ x<0 \\ x, \ \text{se} \ x \ge 0\end{cases}$$
è definita a tratti e cambia definizione in $x=0$, ma è continua in $x=0$.
Qui c'è un errore:
"Gandalf73":
$ \int_{-2}^{-\infty}\frac{(tlog(2-t))}{(1+t^2)}dt $ $ \ (t<-2) $
per $t<-2$, hai che $|t+2|=-(t+2)=-t-2$ e non $2-t$.
Nel nostro caso, per ogni $t> -2$ e per ogni $t <-2$ la funzione integrale è continua perché limitata su ogni compatto contenuto in $(-\infty,-2)$ o contenuto in $(-2, \infty)$; la continuità segue dal fatto che, se l'integranda è limitata in un insieme limitato, allora la funzione integrale è addirittura lipschitziana su tale insieme (ricorda che lipschitziana implica uniforme continua, quindi implica anche continua). Dimostrazione nello spoiler, in caso volessi provare a dimostrarlo per esercizio:
L'unico punto problematico è $x=-2$, perché come abbiamo visto l'integranda è illimitata per $t \to -2$; ti dimostro che la funzione integrale è continua in $x=-2$.
Per la continuità in $x=-2$, ci interessa sapere cosa succede in un intorno, anche piccolo, di $x=-2$. Perciò, dato che $t\log|t+2|\ge 0$ se $t \in [-3,-2) \cup (-2,-1]$, possiamo assumere $|t\log|t+2||=t\log|t+2|$ in un intorno di $x=-2$ sufficientemente piccolo (ad esempio, di semiampiezza $<1$).
Dimostriamo prima la continuità in $x=-2$ da destra, assumendo $-2
$$\le \int_{-2}^x \left|\frac{t \log|t+2|}{1+t^2}\right| \text{d}t \le \int_{-2}^x |t \log |t+2||\text{d}t=\int_{-2}^x t \log |t+2|\text{d}t$$
Dato che $-2
La funzione $g(x)=\frac{(x+2)[(2x-4)\log(x+2)-x+6]}{4}$ tende a $0$ per $x \to (-2)^+$, perciò prendendo il minimo tra le semiampiezze necessarie per far sì che $|t\log|t+2||=t\log|t+2|$ e per far tendere $g$ a $0$ quando $x \to (-2)^+$, ottieni la continuità destra in $x=-2$.
Rimane da mostrare che per $x \to (-2)^{-}$ si ha che $|F(x)-F(-2)|$ tende ancora a $0$, in tal caso puoi assumere $-3 \le x < -2$ e ragionare similmente essendo ora $|t+2|=-t-2$.
Spero di averti convinto
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